(82.4)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием г. согласно выражению (82.4). График зависимости Е от г для рассмотренного случая приведен на рис. 130.

а) выбор гауссовой поверхности:
куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е n =0), либо перпендикулярен (Е n =E).
Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.

б) считаем Σq i внутри "гауссова ящика": очевидно,

;

в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε 0:

.

Выражаем E:

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Механика. Электричество. Магнетизм

Вводные сведения... Предсказание будущего задача науки... Зачем естественные науки нужны людям Одно из основных назначений наук о природе предсказывать будущее состояние...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Два типа диэлектриков - полярные и неполярные
Полярные - центры "+" заряда и центры "-" заряда смещены, например, в молекуле воды H2O. Модель полярного диэлектрика жесткий диполь.

a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>

По теореме Гаусса

Следовательно

3. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля. Поле равномерно заряженной нити.

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью τ.

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

Поток вектора напряжённости.

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф Е через эту поверхность.

Поток вектора напряжённости определяется формулой:

Ф Е =ES ┴ =ESCosα=E n S

Где E n произведение вектора на нормаль к данной площадке.

4. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля. Поле равномерно заряженной плоскости.

Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

Но E 1 =E 2 =E, тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

5. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля. Поле бесконечного проводящего цилиндра.

6. Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля. Поле сферы, равномерно заряженной по объёму.

Объёмная плотность энергии.

w=W p /V= εε 0 E 2 /2

12. Магнитное взаимодействие движущихся зарядов. Разделение поперечной силы на электрическую и магнитную составляющие.

Закон Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара -Лапласа определяет величину модуля вектора магнитной индукции в точке выбранной произвольно находящейся в магнитном поле. Поле при этом создано постоянным током на некотором участке.

Формулировка закона Био Савара Лапласа имеет вид: При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r 0 , от контура магнитная индукция будет иметь вид.

Где I – ток в контуре

Гамма – контур, где идёт интегрирование

r 0 – произвольная точка

Принцип суперпозиции магнитных полей: если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то вектор магнитной индукции в какой-либо точке этого поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности:

14. Магнитное поле на оси и в центре кольцевого тока.

Магнитное поле на оси:

B=μμ 0 IR 2 /2(R 2 +a 2) 3/2

Магнитное поле в центре:

15. Магнитное поле конечного и бесконечного линейного проводника.

Конечного проводника:

Бесконечного проводника:

16. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

Рассмотрим в магнитном поле воображаемую замкнутую линию – контур Г. Введём вектор – по модулю он равен элементу длины dl контура, в каждой точке контура направлен по касательной в направлении обхода контура.

Интеграл вида

Называют циркуляцией вектора по замкнутому контуру (в нашем случае это контур Г).

17. Расчёт индукции магнитного поля соленоида.

18. Поток вектора В . Теорема Гаусса для магнитного поля.

Поток вектора В.

Поток вектора магнитной индукции dФ через элементарную площадку dS называется скалярная физическая величина

где α – угол между вектором В и вектором n нормали к площадке dS .

Закон Фарадея для ЭМИ.

При всяком изменении магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, в нём возникает ЭДС индукции ε i, равная скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

ε i =-dФ/dt, Ф=

где Ф – магнитный поток, пронизывающий любую поверхность S , опирающуюся на проводящий контур.

Правило Ленца.

20. Самоиндукция. Индуктивность. Закон Фарадея для самоиндукции. Правило Ленца.

Самоиндукция.

Каждый проводник, по которому протекает эл.ток, находится в собственном магнитном поле.

При изменении силы тока в проводнике меняется м.поле, т.е. изменяется магнитный поток, создаваемый этим током. Изменение магнитного потока ведет в возникновению вихревого эл.поля и в цепи появляется ЭДС индукции.

Самоиндукция - явление возникновения ЭДС индукции в эл.цепи в результате изменения силы тока.

Возникающая при этом ЭДС называется ЭДС самоиндукции.

Индуктивность.

Физическая величина, показывающая зависимость ЭДС самоиндукции от размеров и формы проводника и от среды, в которой находится проводник, называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью.

Индуктивность - физ. величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на 1Ампер за 1 секунду.

Правило Ленца.

Индукционный ток в контуре возникает такого направления, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало любым изменениям магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

21. Основные законы геометрической оптики и их нарушения. Показатель преломления (абсолютный, относительный)

Когерентные волны.

Когерентные волны - волны, характеризующиеся одинаковой частотой длиной волны и постоянством разности фаз в заданной точке пространства.

Когерентность волн является необходимым условием получения устойчивой интерференционной картины.

Интерференция.

Интерференцией световых волн называется сложение двух когерентных волн, вследствие которого наблюдается усиление или ослабление результирующих световых колебаний в различных точках пространства.

Опыт Юнга.

В этом опыте Юнг поток света направил на непрозрачную пластинку с двумя очень маленькими отверстиями, за которой находился экран. Если придерживаться господствовавшей в то время корпускулярной теории света, то на экране он должен был увидеть две светящиеся точки. Вместо этого на экране он увидел чередующиеся светлые и тёмные полосы. Причём самая яркая из них находилась на экране посередине между отверстиями на перегородке, чего быть вообще-то не должно. Юнг объяснил возникновение полос явлением интерференции света.

Но мы с вами ранее сказали, что интерференция - это сложение в пространстве двух или нескольких волн. Таким образом, мы, вслед за Юнгом, можем сказать, что свет обладает волновыми свойствами.

На экране светлые полосы соответствуют точкам, в которых фазы волн одинаковы, а тёмные - точкам, в которых фазы волн противоположны. Существует формула, по которой можно рассчитать, в каком месте экрана будет светлая, а в каком тёмная полоса:

Как видно из формул, расположение максимумов и минимумов на экране будет зависеть от расстояния между источниками (d), расстояния от источников до экрана (L) и от длины волны λ 0

24. Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции. Кольца Ньютона.

Кольца Ньютона.

Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной стеклянной пластинки большой толщины и плоско-выпуклой линзы большого радиуса кривизны. Роль тонкой пленки, от которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой. Падающий луч 1 отражается в точках А и В (рис.) от верхней и нижней поверхности воздушного клина и образует отраженные лучи 1 / и 1 // , имеющие разность хода:

25. Интерференция. Условия максимума и минимума интерференции. Плоскопараллельная пластинка.

Дифракция.

Под дифракцией света понимают явление непрямолинейного распространения света, проникновение его в область геометрической тени, огибание им препятствий.

Виды дифракции.

1. Дифракция на круглом отверстии (дифракция Френеля).

2. Дифракция от щели (дифракция Фраунгофера).

3. Дифракционная решётка.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

  Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн. Каждый элемент волновой поверхности S (рис.) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS .

Амплитуда этой вторичной волны убывает с расстоянием r от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1/r . Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку наблюдения Р приходит элементарное колебание:

где (ωt + α0) − фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k − волновое число, r − расстояние от элемента поверхности dS до точки P , в которую приходит колебание. Множитель а 0 определяется амплитудой светового колебания в месте наложения элемента dS . Коэффициент K зависит от угла φ между нормалью к площадке dS и направлением на точку Р . При φ = 0 этот коэффициент максимален, а при φ/2 он равен нулю.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (1), взятых для всей поверхности S :

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля.

28. Метод зон Френеля (на примере сферической волны). Условия дифракционного максимума и минимума. Дифракция на малом отверстии.

Метод зон Френеля (на примере сферической волны).

Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

А 1 >A 2 >A 3 …A m -1 >A m >A m +1 …

Дифракция на малом диске.

Пусть на круглый диск падает сферическая монохроматическая волна, испущенная точечным источником S монохроматического излучения. За диском находится экран, на котором наблюдается результат прохождения волной диска.

Используем метод зон Френеля. Разобьём фронт волны, занимающий положение в области диска, на зоны Френеля относительно точки О. Пусть диск закрывает первые i зон. Применяя методику разбиения видимой части фронта волны на зоны и суммируя знакопеременный ряд для амплитуд волн, приходящих в точку наблюдения от зон Френеля, получим

A p =A i+1 -A i+2 +A i+3 -A i+4 +…=A i+1 /2±A N /2≈A i+1 /2

Из данного выражения следует, что в центре картины, в точке О будет наблюдаться светлое пятно, которое получило название пятна Пуассона, а на экране – дифракционная картина в виде светлых и тёмных колец.

30. Дифракция Фраунгофера на щели.

Дифракция Фраунгофера (или дифракция плоских световых волн, или дифракция в параллельных лучах) наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию.

Для наблюдения дифракции Фраунгофера необходимо точечный источник поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину можно исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Пусть монохроматическая волна падает нормально плоскости бесконечно длинной узкой щели (l>>b),l- длина, b - ширина. Разность хода между лучами 1 и 2 в направлении φ

Разобьём волновую поверхность на участке щели МN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой полосы выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2, т.е. всего на ширине щели уложится зон. Т.к. свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны, следовательно, все точки фронта в плоскости щели будут колебаться синфазно. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Число зон Френеля укладывающихся на ширине щели, зависит от угла φ

Условие минимума при дифракции Френеля:

Если число зон Френеля четное.

bSinφ=±2mλ/2

Условие максимума:

Если число зон Френеля нечетное.

bSinφ=±(2m+1)λ/2

m=0, 1, 2, 3,…

31. Дифракционная решётка. Дифракционный спектр. Условия максимума для дифракционной решётки.

Дифракционная решётка - оптический прибор, предназначенный для анализа спектрального состава оптического излучения. Одномерная дифракционная решётка представляет собой совокупность большого числа N одинаковых щелей ширины а, отстоящих друг от друга на одном и том же расстоянии b. Расстояние d, равное d=(a+b), называют периодом или постоянной дифракционной решётки.

Дифракционный спектр – цветовая картина, получаемая при прохождении света через дифракционную решётку

Поляризация света.

Под поляризацией света понимают ту или иную степень упорядоченности колебаний вектора ЭМВ в пространстве.

Виды поляризации света:

1. Линейно поляризованный свет. При такой поляризации вектор Е совершает колебания вдоль одного направления в пространстве.

2. Неполяризованный свет. В этом случае присутствуют всевозможные направления колебания вектора Е в плоскости, перпендикулярной к скорости распространения волны, причём модули векторов Е одинаковы.

3. Частично поляризованный свет. Присутствуют всевозможные направления колебаний векторов Е , но разной амплитуды.

4. Круговая поляризация. В этом случае конец вектора Е совершает равномерное вращение по окружности в плоскости, перпендикулярной к скорости распространения волны.

5. Эллиптически поляризованный свет. В этом случае конец вектора Е совершает равномерное вращение по эллипсу в плоскости, перпендикулярной к скорости распространения волны.

Закон Малюса.

Если на поляроид направить ЛПС, то тогда интенсивность прошедшего поляроида ЛПС (I~E 2) связана с интенсивностью падающего на него света (I 0 ~E 0 2) формулой

Е=Е 0 Cosφ=>I=I 0 Cos 2 φ

получившей название закон Малюса. Она связывает интенсивности падающего и прошедшего поляроид линейно поляризованного света.

Угол Брюстера.

Углом Брюстера (i б) называется угол падения, при котором проникает падающая волна всецело, без отражения, из одной среды в другую.

Sin i б /Sin r=Sin i б /Sin(180-90- i б)=tg i б =n 2 /n 1 => i б =arctg(n 2 /n 1)

Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность δ заряда в любой точке сферы будет одинакова.

a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

b. Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать

c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г

Теорема Гаусса для вектора

может быть успешно использована как эффективный инструмент расчета напряженности и потенциала электрического поля некоторого распределения заряда, когда стоящий слева интеграл может быть превращен в произведение площади поверхности, по которой производится интегрирование, на величину нормальной к поверхности составляющей вектора , то есть когда

.

Вполне очевидно, что для расчета вектора этого будет достаточно, во-первых, когда вектор перпендикулярен поверхности. Следовательно, поверхность интегрирования должна быть эквипотенциальной поверхностью рассчитываемого поля. Её форму надо знать заранее . Наконец, во-вторых, во всех точках этой - эквипотенциальной - поверхности нормальная к ней составляющая должна иметь одну и ту же величину, в противном случае, её нельзя будет вынести из-под знака интеграла и будет возможно найти лишь среднее на эквипотенциальной поверхности значение . Подчеркнем, что из факта эквипотенциальности поверхности, а именно, из того, что

вовсе не вытекает, что и

в точках этой поверхности. Забегая вперед, укажем, что, например, поверхность заряженного проводника при условии равновесного распределения заряда на нем всегда эквипотенциальна, но, если это не шар, а тело сложной формы, то в окрестности выступов (острий) напряженность поля может быть на порядки больше, чем в окрестности впадин на поверхности. Требование постоянства - отдельное требование.

Из сказанного выше вытекает, что теорема Гаусса в состоянии быстро и просто привести к результату (вектору ) лишь в том случае, когда создающее поле распределение заряда обладает высокой степенью симметрии, соответственно, заранее известна форма эквипотенциальных поверхностей поля и есть уверенность в том, что на этих поверхностях. Если всё это имеет место, то решение выглядит следующим простым образом:

Сферическая симметрия

При сферически симметричном распределении заряда поле, создаваемое им, также сферически симметрично. Векторные (и скалярные) поля с такой симметрией принято также называть центральными полями . Центрально симметричное поле в общем случае можно записать в виде

Здесь - радиус-вектор, начинающийся в центре симметрии поля r - его модуль, - радиальная составляющая напряженности поля, зависящая только от расстояния до его центра симметрии. Потенциал такого поля зависит только от и

И, кроме того, как следует из, при произвольной нормировке потенциал поля имеет вид

Таким образом, условия применимости выполнены и мы можем воспользоваться этим соотношением.

Возьмем в качестве эквипотенциальную сферическую поверхность некоторого текущего радиуса r , её площадь . Виду предполагаемой непрерывности распределения заряда, для используем выражение:

.

где - объёмная плотность заряда. Опять-таки, учитывая сферическую симметрию распределения заряда - зависит только от , в качестве элемента объёма естественно взять бесконечно тонкий сферический слой с внутренним радиусом и внешним радиусом . Объём такого слоя , в результате получаем

.

Окончательно, для любого сферически симметричного распределения заряда, когда , получаем

Продолжение вычислений требует конкретизации вида зависимости плотности заряда от модуля радиус-вектора .

Поле однородно по объёму заряженного шара

Равномерное по объёму шара радиуса распределение заряда (рис. 1.41) означает, что его плотность заряда имеет вид

Рис. 1.41. Силовые линии электрического поля однородно заряженного шара

Не следует забывать, что по условию вне шара зарядов нет.

Поскольку в точке плотность заряда меняется скачком: предел «слева» отличен от нуля , а предел «справа» равен нулю , вычисление придется проводить в два этапа: сначала для сферической поверхности радиуса (она лежит внутри шара), а потом для сферической поверхности радиуса (она охватывает шар). В первом случае

.

Соответственно, поле

растет линейно с ростом расстояния до центра шара, что объясняется просто: площадь поверхности , а заряд внутри неё

Во втором случае интеграл «обрезается сверху» при :

В последнем выражении учтено, что , где - полный заряд шара. Таким образом, вне шара его поле есть поле точечного заряда равного полному заряду шара и помещенного в центр этого шара:

.

Оба выражения можно объединить в одну формулу. Если использовать полный заряд шара , получим:

Если вместо полного заряда шара использовать в качестве параметр плотность заряда , эти формулы приобретут следующий вид (рис. 1.42):

Рис. 1.42. Распределение напряженности электрического поля однородно заряженного шара

Формулы и выражают одну и ту же зависимость, их удобство определяется тем, какие параметры заданы: или . Из этих формул наглядно видно, что на поверхности шара напряженность поля непрерывна, то есть не имеет разрыва. Это обусловлено тем, что в данном случае разрыв плотности заряда на поверхности шара первого рода - конечной величины: с на нуль. Поэтому, как в, так и в в верхней и в нижней формулах поставлены знаки нестрогих неравенств. В каких случаях напряженность поля может терпеть разрыв, будет ясно из следующего примера.

Потенциал поля легко найти, подставив, например, из в и выполнив интегрирование. Получаем:

где и - постоянные интегрирования, которые находятся из следующих соображений. Константа определяется из условия нормировки, например, на нуль на бесконечности

Откуда . Константа определяется из условия непрерывности потенциала на поверхности шара, то есть при :

Отметим, что требование непрерывности потенциала нередко называют «сшивкой» двух решений на границе раздела. В данном случае это граница раздела двух областей: областью, где есть заряд (внутри шара), и областью, где его нет (вне шара). Уже сейчас можно отметить, что потенциал непрерывен во всех случаях, кроме одного: так называемого «двойного слоя». Представьте поверхность, по одной стороне которой с плотностью распределен положительный заряд, а по другой стороне которой с плотностью распределен отрицательный заряд. Такая поверхность и называется двойным слоем, на этой поверхности потенциал терпит разрыв. Такую (плоскую) поверхность можно получить, неограниченно сближая две обкладки плоского конденсатора. То же самое можно проделать для конденсатора любой формы, например, сферического или цилиндрического. Во всех остальных случаях потенциал непрерывен.

Подставляя полученные значения констант интегрирования в, запишем окончательный результат в виде

При такой нормировке потенциал в центре шара отличен от нуля и равен

.

Полученные результаты иллюстрирует приведенный ниже рисунок 1.43.

Рис. 1.43. Напряженность (1) и потенциал (2) электрического поля равномерно заряженного шара радиусом R в единицах напряженности и потенциала на его поверхности (r = R)

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

В данном случае равномерного распределения заряда по сферической поверхности, как и в предыдущем, имеет место сферическая симметрия, поэтому общие формулы, полученные выше, применимы и здесь. Однако относиться к ним необходимо с известной осторожностью по следующей причине. Входящая в правую часть объемная плотность заряда ведет себя в данном случае следующим интересным образом:

Рис. 1.44. Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы

Действительно, заряд имеется только на поверхности , то есть при , всюду внутри, то есть при и всюду снаружи, то есть при зарядов нет. То, что объемная плотность заряда в точках поверхности обращается в бесконечность (+∞ в случае положительного заряда и –∞ в случае отрицательного) можно показать следующим образом. На рисунке рядом изо­бражен участок некоторой поверхности, по которой с поверхностной плотностью распределен заряд. Для определения величины объёмной плотности заряда в некоторой точке поверхности рассмотрим цилиндр (рис. 1.45), верхнее основание которого находится над поверхностью, а нижнее - под поверхностью. Площадь оснований цилиндра равна , высота - , объём . Заряд внутри цилиндра , объёмная плотность заряда по определению равна пределу отношения заряда, находящегося внутри некоторого объема, к величине этого объема при стремлении последнего к нулю (со всеми оговорками относительно объёма «физически бесконечно малого»). Получаем

Рис. 1.45. Плотность заряда на поверхности

Важно, что плотность на поверхности равна бесконечности. Функции такого рода (везде, кроме одной точки - нуль, а в этой единственной точке - бесконечность) относятся к классу так называемых обобщенных функций, называются функциями Дирака в честь физика Дирака, впервые введшего в обиход физики такую функцию для удовлетворения нужд квантовой механики. Мы не будем здесь подробно исследовать и использовать в расчетах такого рода функции. Наша цель показать, что рассмотрение формально бесконечно тонких заряженных поверхностей приводит к появлению у объёмной плотности заряда разрывов (бесконечных), что, в свою очередь, порождает бесконечные разрывы на такой заряженной поверхности у напряженности электрического поля. Подчеркнем, что потенциал поля при этом остается непрерывным.

Выход из положения прост. При всех используем первую из формул с , получаем, что всюду внутри однородно заряженной сферической оболочки поле отсутствует: . При всех справедлива вторая формула из. Как и в случае однородно по объёму заряженного шара, вне однородно заряженной сферической оболочки, её поле есть поле точечного заряда, помещенного в центр этой оболочки и равного её полному заряду. В данном случае, разумеется .

Окончательный результат такой:

На самой сферической поверхности напряженность поля в этом случае терпит разрыв. Зависимость радиальной компоненты поля от расстояния до центра сферической поверхности показана на рис. 1.46.

Рис. 1.46. Зависимость поля от расстояния до центра сферической оболочки

Зависимость потенциала от расстояния до центра сферической оболочки можно получить, интегрируя. При нормировке на нуль на бесконечности результат выглядит следующим образом:

Зависимость показана на рис. 1.47.

Рис. 1.47. Потенциал равномерно заряженной сферы

Однородное (равномерное) распределение заряда по бесконечно длинной цилиндрической поверхности (рис. 1.48) обладает цилиндрической, трансляционной и зеркальной симметрией. Это означает следующее. При повороте такого распределения заряда вокруг оси цилиндрической поверхности на любой угол оно совпадает само с собой. При сдвиге (переносе, трансляции) такого распределения заряда на любое расстояние вдоль оси симметрии оно также совпадает само с собой. И, наконец, если через любую точку на оси симметрии провести плоскость перпендикулярную к оси, и отразить в этой плоскости как в зеркале «верхнюю» часть распределения заряда, то отражение «верхней» части совпадет с «нижней» и наоборот, отражение «нижней» совпадет с «верхней». Другими словами, это распределение заряда инвариантно относительно указанных преобразований. Следовательно, и создаваемое этим распределением заряда электрическое поле должно быть инвариантно (совпадать само с собой) при указанных преобразованиях.

Рис. 1.48. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность

Введем цилиндрическую систему координат: ось направим по оси симметрии, - расстояние до оси симметрии, - азимутальный угол, угол поворота вокруг оси симметрии, - по-прежнему потенциал поля.

Из свойств симметрии вытекает, что потенциал поля не может зависеть ни от координаты - нарушится трансляционная симметрия, ни от координаты - нарушится осевая (цилиндрическая) симметрия. Остается только зависимость от - расстояния до оси цилиндра. Таким образом:

Соответственно

вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым, перпендикулярным оси симметрии (рис. 1.49), и его величина зависит только от расстояния до оси. Потенциальные поверхности представляют собой цилиндры соосные с заряженной цилиндрической поверхностью.

Рис. 1.49. Вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым

Используя эти обстоятельства, будем интегрировать в левой части теоремы Гаусса по замкнутой поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой , соосного с рассматриваемой, заряженной цилиндрической поверхностью радиуса . Поток через основания цилиндра равен нулю ввиду того, что на основаниях , а поток через его боковую поверхность равен произведению на её площадь: . Соответственно, суммарный (через всю замкнутую поверхность рассматриваемого цилиндра) поток вектора равен

При , находящийся внутри цилиндра заряд, равен

где - линейная плотность заряда численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины цилиндрической поверхности. Согласно теореме Гаусса

откуда для получаем

При внутри цилиндра, через поверхность которого вычисляется поток вектора , зарядов нет, и потому поле равно нулю. Объединяя эти два результата, получаем окончательно (рис. 1.50):

Ввиду поверхностного характера распределения заряда (см. подробнее предыдущий расчёт) на самой заряженной поверхности, то есть при радиальная компонента поля терпит разрыв.

Рис. 1.50. Напряженность электрического поля равномерно заряженной цилиндрической поверхности

Интегрирование (1.51) (см. также (1.49)), требование непрерывности потенциала при , и нормировка , приводят к следующей зависимости потенциала от расстояния до оси цилиндрической поверхности:

В данном случае, когда бесконечно большой по модулю заряд распределен по бесконечно длинному цилиндру, относится к тем случаям, когда нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла. Как видно из (1.52), зависимость потенциала от расстояния до оси логарифмическая, нормировка на нуль на бесконечности, на языке формул (1.52), означает, что , но, тогда потенциал будет бесконечно большим по модулю на любом конечном расстоянии от оси заряженной поверхности, что лишено смысла. Выбор того конечного расстояния от оси симметрии, на котором удобно потенциал считать равным нулю трудностей не вызывает и обусловлен спецификой задачи. Например, ничто не мешает положить , тогда потенциал всюду внутри и на самой заряженной поверхности будет равен нулю.

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Такое распределение заряда по бесконечной плоскости характеризуется тем, что его вид не зависит от: а) поворота на любой угол вокруг любой оси перпендикулярной плоскости, б) сдвига на любое расстояние вдоль прямой лежащей в плоскости и любого направления. Наконец, в) отражение данного распределения заряда в зеркале, совпадающем с самой плоскостью, оставит его неизменным.

Из анализа симметрии достаточно очевидно, что потенциал в любой точке вне плоскости может зависеть только от расстояния от этой точки до плоскости. Направим ось декартовой системы координат перпендикулярно плоскости, а оси и пусть принадлежат самой плоскости, тогда

Причем, в силу зеркальной симметрии, поле «перед» плоскостью отличается от поля «за» плоскостью только направлением вектора . Это означает, что зависимость от должна быть нечетной, а зависимость потенциала от должна быть четной.

В силу этих соображений возьмём замкнутую поверхность - ту, для которой будем писать теорему Гаусса, - следующего вида (рис 1.51).

Рис. 1.51. Электрическое поле заряженной плоскости

Это цилиндр с боковой поверхностью перпендикулярной плоскости и с основаниями параллельными плоскости. Высота цилиндра , площадь оснований . Учитывая нечетность зависимости , основания цилиндра удобно расположить на одинаковом расстоянии от плоскости, тогда вклад оснований в поток будет одинаков. Напряженность поля на основаниях, во-первых, им перпендикулярна, во-вторых, сонаправлена с внешней нормалью, в-третьих, она одинакова во всех их точках по абсолютной величине

Вклад в поток вектора от боковой поверхности равен нулю, так как на боковой поверхности .

Поэтому полный поток через всю замкнутую цилиндрическую поверхность равен

Внутри рассматриваемой цилиндрической поверхности находится заряд

где - плотность заряда на плоскости. По теореме Гаусса

следовательно, модуль напряженности поля заряженной плоскости равен

Подчеркнём, что результат очевидным образом не зависит от того, на каком расстоянии от плоскости расположены основания рассмотренного цилиндра. Отсюда следует, что с каждой стороны от плоскости создаваемое ею электрическое поле однородно.

Используя введенную ранее ось перпендикулярную заряженной плоскости, поле с обеих сторон от плоскости можно описать одной формулой, пригодной при любом знаке заряда на плоскости

Здесь - орт оси .

Интегрируя с учетом

для зависимости от потенциала поля плоскости нетрудно получить:

Потенциал в нормирован условием . Здесь, как и в примере с бесконечно длинной заряженной цилиндрической поверхностью, потенциал растет при удалении на бесконечность, поэтому нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла.

Силовые линии поля заряженной плоскости показаны на рис. 1.52 и 1.53.

Рис. 1.52. Поле положительно заряженной плоскости

Рис. 1.53. Поле отрицательно заряженной плоскости

Поле плоского конденсатора

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными однородно и разноименно. Плотности заряда на плоскостях по модулю одинаковы и равны, соответственно: и (идеальный плоский конденсатор). С помощью рис. 1.54 нетрудно сообразить, что в зазоре между плоскостями, создаваемые ими поля направлены в одну сторону, поэтому внутри суммарное поле в два раза больше поля от каждой из плоскостей. Снаружи от плоскостей создаваемые ими поля направлены в противоположные стороны, соответственно, суммарное поле от обеих плоскостей равно нулю (рис. 1.55).

Рис. 1.54. Электрическое поле плоского конденсатора

Рис. 1.55. Электрическое поле разноименно заряженных плоскостей

В Дополнении 6 разобран пример с движением заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

Потенциал поля заряженного диска

Как уже не раз отмечалось, зная потенциал поля точечного заряда и используя принцип суперпозиции, в принципе всегда, можно вычислить потенциал поля, создаваемого любым распределением зарядов.

Найдем для примера потенциал электрического поля, создаваемого на оси тонкого диска радиуса R , равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда (рис. 1.57). В силу осевой симметрии в точках на оси две перпендикулярных к оси составляющих напряженности поля равны нулю: , остается найти - составляющую поля, направленную вдоль оси.

Можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя членами разложения

Закон Кулона и размерность пространства

Пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Иными словами, нужны три координаты (например, в декартовой или в сферической системах) для задания положения точки А (рис. 1.58). Оказывается, число 3 тесно связано с формой закона Кулона. Мы видели, что теорема Остроградского - Гаусса следует из закона Кулона. Верно и обратное, закон Кулона можно вывести из теоремы Остроградского - Гаусса. Но эта теорема носит более общий характер, чем закон Кулона. В частности, она применима к пространствам с размерностью , где не обязательно должно быть равно трем.

Так, в двумерном пространстве роль объема играет наша площадь. Действительно, сфера - это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от центра. Согласно этому определению, двумерная сфера - это окружность радиусом мерном мире пропорциональна мерном мире.

При получаем отсюда закон обратных квадратов (закон Кулона). При находим На самом деле мы уже знакомы с таким поведением электрического поля. Именно такой закон (10.17) мы вывели для поля бесконечного заряженного цилиндра. Если как сле­дует подумать и вспомнить расположение силовых линий цилиндра, то станет ясно, что ничего не зависит от координаты вдоль оси цилиндра. Таким образом, эта система имитирует электрическое поле в двумерном мире. Теперь легче понять, что заряженная плоскость имитирует точечный заряд в одномерном мире: все зависит только от одной координаты - расстояния до плоскости. Но мы нашли выше, что электрическое поле от этого расстояния не зависит. И из формулы (10.49) при также следует, что напряженность grad ) должно дать выражение для напряженности электрического поля.

Отсюда следуют любопытные выводы. Поскольку в одно- и двумер­ном мирах потенциалы растут на бесконечности, нужна бесконечно большая работа, чтобы развести два притягивающихся заряда. Это означает, что в мирах малой размерности возможно лишь финитное движение двух притягивающихся тел (зарядов, масс). Напомним, что финитным назы­вается движение в ограниченной области пространства. Поэтому в мирах с нельзя ионизировать атом, нельзя запустить спутник за пределы Солнечной системы и т. п. В таком мире не было бы химических реакций, не могли бы эволюционировать галактики и звезды. Словом, жизнь там была бы застойно скучна.

Можно было бы ожидать более приятного времяпрепровождения в многомерных мирах. Увы, и это оказывается иллюзией. Исследование уравнения движения

приводит к выводу, что при в сущности отсутствует финитное движение: оно реализуется только для круговых орбит, да и то является неустойчивым - малейшее возмущение приводит к падению электрона (планеты) на притягивающий центр или его (ее) убеганию на бесконечно большое расстояние. Выходит, в таком мире атомы, планетные системы и все остальное вообще не могло бы образоваться. Никакой стабильности в мирах высшей размерности - вот альтернатива «застойным» мало­мерным мирам. Только при возможно как устойчивое финитное, так и инфинитное движения. Получается, что трехмерное пространство - единственно удобная форма существования и движения материи, по крайней мере, известных нам ее видов, которые мы изучаем в физике.

Дополнительная информация

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - сферическая система координат;

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - финитное движение, задача Кеплера.