Бесконечный цилиндр заряжен объемной плотностью. Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности и объемно заряженного шара

Расчеты электрических полей, создаваемых заданным распределением зарядов, основаны на использовании принципа суперпозиции. Эти расчеты существенно упрощаются при наличии какой-либо

симметрии в распределении создающих поле зарядов. Рассмотрим примеры таких расчетов в конкретных задачах.

Задачи

1. Поле заряженного шара. Шар радиуса равномерно заряжен по объему. Полный заряд шара Найти напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого таким шаром.

Решение. Так как распределение создающих поле зарядов сферически-симметрично, то и создаваемое ими электростатическое поле должно обладать такой же симметрией. Это значит, что потенциал и модуль напряженности зависят только от расстояния до центра заряженного шара, а вектор напряженности во всех точках имеет радиальное направление. Однако зависимость от величин будет разной для внешней и внутренней областей.

Симметрия системы позволяет применить теорему Гаусса для расчета напряженности поля Для области этот расчет ничем не отличается от описанного в предыдущем параграфе расчета напряженности поля шара, равномерно заряженного по поверхности. Напряженность поля и, следовательно, потенциал, оказываются точно такими же, как у точечного заряда помещенного в центр шара:

Для нахождения напряженности поля внутри шара рассмотрим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса концентрическую с шаром. Поскольку силовые линии всюду пересекают эту поверхность под прямым углом, то поток вектора Е через нее равен По теореме Гаусса этот же поток пропорционален полному заряду находящемуся внутри сферы: При постоянной плотности заряд пропорционален объему, т. е. Поэтому Приравнивая эти выражения для потока, имеем

Видно, что напряженность поля внутри равномерно заряженного шара пропорциональна расстоянию от его центра. На поверхности шара, т. е. при значения напряженности поля даваемые формулами (1) и (2), совпадают.

Потенциал для внутренней точки может быть найден как работа сил поля при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность. Фактически требуется вычислить только работу при перемещении до поверхности, так как работа при перемещении от поверхности в бесконечность равна значению потенциала на поверхности шара: При линейной зависимости силы от расстояния в (2) работа при перемещении изданной точки, находящейся на расстоянии от центра шара, до поверхности равна

Таким образом, при потенциал имеет вид

Графики показаны на рис. 16. Оба графика непрерывны, однако при на графике напряженности имеется излом, в то время как на графике потенциала парабола (3) при плавно переходит в гиперболу (1) при Одинаковый наклон касательных к параболе и гиперболе при легко объяснить, если вспомнить о связи напряженности и потенциала: непрерывность наклона касательной к графику следует из непрерывности

2. Неустойчивость равновесия зарядов. Заряды закреплены на расстоянии друг от друга. В какой точке создаваемого ими поля будет находиться в равновесии пробный заряд? Устойчиво ли это равновесие?

Решение. Очевидно, что пробный заряд может быть в равновесии только тогда, когда он расположен на прямой, проходящей через заряды (рис. 17). Обозначим через х расстояние от заряда до точки равновесия.

Будем для определенности считать, что заряд положительный, а отрицательный. Показанные на рис. 17 силы, действующие на положительный (рис. 17а) и отрицательный пробный заряд со стороны зарядов в точке равновесия равны по модулю. Расстояние х до этой точки можно найти, приравнивая модули напряженностей полей зарядов

Рис. 17. Равновесие положительного (а) и отрицательного (б) пробного заряда в поле зарядов

Учитывая, что приходим к квадратному уравнению для искомого расстояния

Положению равновесия пробного заряда соответствует корень Второй корень соответствует положению равновесия в случае, когда так как уравнение (4) справедливо и при одноименных зарядах

Для выяснения вопроса об устойчивости равновесия можно рассмотреть силы, действующие на пробный заряд при его небольшом смещении из положения равновесия. Рассмотрим сначала смещение в направлении, перпендикулярном прямой, проходящей через

Рис. 18. По отношению к поперечным смещениям равновесие положительного пробного заряда устойчиво, а отрицательного - неустойчиво

Из рис. 18 видно, что на положительный пробный заряд будет действовать сила (равнодействующая и направленная к положению равновесия. Так получается потому, что силы вблизи точки равновесия почти равны по модулю, но несколько отличаются по направлению. На отрицательный пробный заряд будет действовать сила (равнодействующая направленная от положения равновесия.

Отсюда, однако, нельзя сделать вывод отом, что равновесие положительного пробного заряда будет устойчивым, а отрицательного - неустойчивым. В самом деле, если рассмотреть малые смещения из точки равновесия вдоль прямой, проходящей через все будет наоборот: на положительный заряд будет действовать сила, направленная от точки равновесия а на отрицательный - к положению равновесия (рис. 19б).

Рис. 19. По отношению к продольным смещениям равновесие положительного пробного заряда неустойчиво (а), а отрицательного - устойчиво

Это легко понять, заметив, что при таком смещении относительное изменение расстояния больше, чем до.

Таким образом, в электростатическом поле двух точечных зарядов равновесие пробного заряда не может быть устойчивым: всегда найдутся такие

смещения из положения равновесия, при которых на пробный заряд будет действовать сила, «уводящая» его дальше от этого положения.

Подмеченное на этом примере обстоятельство имеет совершенно общий характер: невозможно устойчивое равновесие заряда под действием только электростатических сил.

Устойчивое равновесие в потенциальном поле соответствует минимуму потенциальной энергии. Невозможность устойчивого равновесия пробного заряда в электростатическом поле означает, что потенциал любого поля, который может быть представлен как сумма членов вида где - радиус-вектор заряда, создающего поле, не имеет минимумов и максимумов на любом конечном расстоянии.

Рис. 20. Нахождение электростатического поля в сферической полости равномерно заряженного шара

Вопрос. Объясните, почему можно утверждать, что не может иметь не только минимума, но и максимума.

3. Однородное поле в полости. Докажите, что электростатическое поле внутри сферической полости в равномерно заряженном по объему шаре однородно. Найдите напряженность этого поля, если расстояние от центра шара до центра полости I, а объемная плотность заряда шара

Решение. Искомую напряженность поля внутри полости проще всего найти с помощью принципа суперпозиции. Идея заключается в следующем. Если бы полости не было, поле Е, в точке А (рис. 20) создавалось бы всем равномерно заряженным шаром. Такое поле нам известно (см. задачу 1). Но эту напряженность можно рассматривать как векторную сумму искомой напряженности Е поля, создаваемого шаром с полостью, и напряженности поля, создаваемого меньшим шаром, после удаления которого и образуется данная полость:

Теперь остается только подставить соответствующие выражения для Е, и

Обозначим через вектор, проведенный в произвольную точку наблюдения А из центра О заряженного шара, а через - вектор, проведенный в точку А из центра полости О. Вектор 1 проведен из О в О. Запишем формулу (2) задачи 1 в векторном виде:

где - радиус шара. Подставляя сюда заряд шара (без полости) перепишем (6) следующим образом:

Очевидно, что точно такой же формулой выражается напряженность поля, создаваемого меньшим шаром, после удаления которого образуется полость:

Выражая теперь Е из (5) как разность Е] - с помощью (7) и (8) находим

поскольку, как видно из рис. 20, для любой точки наблюдения А внутри полости Из (9) следует, что во всех точках внутри полости напряженность поля Е одинакова. Это и значит, что поле в полости однородно. Напряженность Е направлена параллельно линии соединяющей центр с центром полости, от О к О при и от О к О при Модуль напряженности поля в полости зависит только от плотности заряда и расстояния и не зависит от радиусов шара и полости.

Отметим, что в случае, когда центр полости совпадает с центром шара формула (9) дает равное нулю значение: напряженность поля в любой точке внутри равномерно заряженного шарового слоя равна нулю.

4. Электрическое поле диполя. Найти напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого диполем - двумя равными по модулю и разноименными зарядами и находящимися на расстоянии друг от друга, - в точке, отстоящей на расстояние большое по сравнению с размером диполя I.

Решение. Найти электрическое поле, создаваемое парой точечных зарядов, не составляет большого труда. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность такого поля равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, а потенциал - алгебраической сумме потенциалов. Поэтому, обозначая через расстояния от зарядов и - до точки наблюдения А (рис. 21), имеем для потенциала

а выражения для модулей соответствующих напряженностей имеют вид

направления векторов и результирующего вектора Е показаны на рисунке.

Эти формулы справедливы для любых значений расстояний Смысл задачи заключается в нахождении удобных для дальнейших применений выражений, которые были бы справедливы на больших расстояниях от диполя.

Электрическое действие заряженного тела на расстоянии, большом по сравнению с его размерами, определяется полным зарядом этого тела Чем дальше от тела, тем меньше отличается создаваемое им электрическое поле от поля точечного

заряда: это поле почти сферически-симметрично, его потенциал убывает с расстоянием как а напряженность - как

Если же тело в целом электрически нейтрально, т. е. его полный заряд равен нулю, то это вовсе не означает, что оно совсем не создает электрического поля.

В самом деле, электрически нейтральные молекулы вещества именно благодаря электростатическому взаимодействию между собой объединяются и образуют кристаллы или жидкости.

Рис. 22. Вычисление потенциала диполя в точке А

Для расчета электрического поля простейшей электрически нейтральной системы - диполя удобно несколько преобразовать выражения (10) и (11). Диполь принято характеризовать дипольным моментом модуль которого равен произведению а направление выбирается вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному (рис. 22). Далее удобно вместо ввести расстояние от середины диполя и угол 8 между вектором дипольного момента и направлением на точку наблюдения. Как видно из рис. 22, при разность расстояний можно записать в виде

В то же время произведение в знаменателе формулы (10) можно заменить на В результате формула (10) для потенциала принимает вид

В отличие от потенциала поля точечного заряда, убывающего как потенциал электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее - как Разумеется, поле диполя обладает осевой, а не сферической, симметрией, поэтому его потенциал зависит не только от расстояния но и от направления на точку наблюдения, характеризуемого углом 8.

При получении формулы для напряженности удобно представить результирующий вектор Е на рис. 21 не как сумму векторов а как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих, одна из которых, направлена вдоль радиуса-вектора характеризующего положение точки А относительно середины диполя, а другая, перпендикулярна ей (рис. 23). На больших расстояниях от диполя, когда , векторы направлены почти в противоположные стороны и мало отличаются по

модулю. При приближенном нахождении нужно учитывать разницу векторов по модулю, но можно пренебречь тем, что они направлены не строго в противоположные стороны.

Наоборот, при вычислении можно пренебречь различием векторов по модулю, но нужно обязательно учесть их неколлинеарность.

Записав с помощью формул (11) выражение для в виде

можно при как и при вычислении потенциала, заменить в знаменателе на , а в числителе - сумму на и разность на . В результате из (14) получаем

При вычислении следует учесть, что угол между векторами отличается от на малую величину для которой, как видно из рис. 23, справедливо

Поле объемно заряженного шара. - раздел Электротехника, Вопрос№1. Электрический заряд. Дискретность заряда. Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона Напряженность Поля Вне Равномерно Заряженного Шара Описывается Формулой: ...

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Вопрос№1. Электрический заряд. Дискретность заряда. Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряд приходящийся на единицу поверхности Согласно теореме Гаусса... Вопрос Работа электрического поля Теорема о циркуляции напряженности... Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки в точку вдоль произвольной траектории перемещается...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Соединение конденсаторов.
У параллельно соединен­ных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна

Вопрос№10. Энергия конденсатора. Плотность энергии электрического поля.
Энергия заряженного конденсатора. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (1) равна:

Энергия электростатического поля. Плотность энергии электростатического поля.
Преобразуем формулу, выражаю­щую энергию плоского конденсатора. Подставим: –

Вопрос№11.Поляризация диалектриков. Связанные заряды. Вектор поляризации. Диэлектрическая проницаемость.
Поляризациейдиэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей. Соответственно т

Теорема.
Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме может быть распространена на электростатическое поле в среде, если под q понимать сумму всех свободных и связанных зарядов, охватываемых замкну

P - дипольный момент одной молекулы.
Пользуясь формулой D=e0E+Pможно переписать теорему в форме:

Вопрос№13. Электрически ток и его характеристики. Условия существования тока. Закона Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Электрический ток – любое упорядоченное движение заряженных частиц. В проводнике под действием приложенного электрического поля

Закон Ома. (для плотности тока)
Приложенное к проводнику напряжение U вызывает электрический ток I. Как физически будет развиваться этот процесс. Зависимость тока I(U) участка цепи называется вольт

Сторонние силы. Э.Д.С., Против сил электрического поля могут действовать только силы неэлектрического происхождения, поэтому такие силы называются сторо

Закон Ома для участка цепи
Для участка цепи содержащей ЭДС будет иметь вид Вопрос№15. Правила Киргофа и рас

Магнитное поле создается (порождается) током заряженных частиц, или изменяющимся во времени электрическим полем, или собственными магнитными моментами частиц (последние для единообразия картины мог

Сила Лоренса.
На частицу движущуюся в магнитном поле, действует Сила Лоренса определяющаяся выражением:F=q. Модуль магнитной силы равен: F=qvB sin a Направление силы Лоренса «правило лево

Вопрос№17.Закон Био-Савара. Принцип супер позиции. Магнитное поле прямолинейного тока и кругового поля.
Закон Био-Савара позволяет вычислить бесконечно малый вектор магнитной индукции от бесконечно малого элемента тока.(конспект стр.18)

Виток с током в магнитном поле
Силы и пытаются поворачиват

Теорема Гаусса
Магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: Пусть ток I течет по пр

Вопрос№22. Масс-спектрометр. Принцип работы и применение.
Масс-спектрометр – приборы с электрической регистрацией ионов. По принципу действия они делятся на статические и динамические. В статических масс-спектрометрах ионы движутся в постоянных во времени

Вопрос№23. Эффект Холла. Постоянная Холла.
Эффект Холла Американский физик Холл провел эксперимент, в котором

Явление электромагнитной индукции
Известно, что электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта задача бы

Закон электромагнитной индукции
Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной ин­дукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцеплённого с контуром пот

Вопрос№25.Явление самоиндукции. Индуктивность. Индуктивность длинного соленоида.
Самоиндукциейназывается возникновение ЭДС электромагнитной индукции в электрической цепи вследствие изменения в ней электрического тока. Эта ЭДС называется электродвижущей силой са

Вопрос№26. Магнитное поле в веществе. Молекулярные токи. Намагниченность. Магнитная проницаемость.
Если магнитное поле создается не в вакууме, а в какой-то другой среде, то магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что различные вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются и сами

Вопрос№27. Пара-диамагнетики и их свойства. Элементарная теория диамагнетизма.
Пара - и диамагнетики Все вещества при рассмотрении их магнитных свойств принято называть магненитками.Три основные группы магнетиков: Диамагнетики; Пар

Элементарная теория диамагнетизма.
Диамагнетизм можно рассматривать как следствие индукционных токов, наводимых в заполненных электронных оболочках ионов внешним магнитным полем. Эти токи создают в каждом атоме индуцированный магнит

Вопрос№28.Ферромагнетики и их свойства.
Ферромагнетики Ферромагнетики – вещества обладающие спонтанной намагниченостью. Ферромагнетики с узкой петлёй гистерезиса называются мягкими, с широкой жёсткими. Для каждого феррома

Ток смещения.
Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем Максвелл вел в рассмотрение так называемый ток смещения. Рассмотрим цепь переменного ток

Вопрос№31. Система уравнений Максвелла в интегральной форме. Материальные уравнения. Скорость распространения электромагнитных возмущений.
Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению создания единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрически

Материальные уравнения
Материальные уравнения устанавливают связь между D,H и E,B . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяе

Скин-эффект и его элементарная теория.
Вихревые токи возникают и в проводах, по которым течет переменный ток. Направление этих токов можноопределить поправилу Ленца. Направление вихревых токов при возрастании первичноготока в проводнике

Генератор переменного тока. Емкость, индуктивность и активное сопротивление в цепи переменного тока. Закон Ома для переменных токов.
Переменный ток. Вынуждены колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением, переменного тока, обус

Затухающие колебания в колебательном контуре. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания колебаний.
1. Колебательный контур. Колебательный контур- это простейшая электрическая цепь, где можно наблюдать электромагнитные колебания, состоящая из конденсатора и

Вынужденные колебания в колебательном контуре. Резонанс.
Вынужденные электрические колебания. Это незатухающие колебания заряда q, I, U в к.к. или электрической цепи, вызванные периодически изменяющейся ЭДС.

Поле равномерно заряженной сфериче­ской поверхности . Сферическая поверхность ра­диуса R с общим зарядом Q заряжена равно­мерно с поверхностной плотностью +0. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напря­женности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R , то внутрь поверхности попадает весь заряд Q , создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4pr 2 E =Q/e 0 , откуда . При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. Гра­фик зависимости E от r приведен на рис. 129. Если r", то замкнутая поверхность не со­держит внутри зарядов, поэтому внутри равно­мерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E =0).