Численное значение напряженности электрического поля

Главное свойство электрического поля – способность действовать на электрические заряды с некоторой силой, поэтому естественно охарактеризоватьэлектрическое поле с помощью силы, действующей на точечный положительный заряд, внесенный в это поле.

Напряженностью электрического поля в данной точке называют физическую величину, численно равную силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку и имеющей направление этой силы:

В частности, напряженность в любой точке поля, созданного точечным зарядом (как это следует из закона Кулона), равна

. (6.3)

Напряженность поля не зависит от величины пробного заряда, а определяется величиной и знаком заряда, создающего поле, и положением (координатой) выбранной точки поля. Напряженность поля определяет величину и направление силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку поля:

(6.4)

Если поле создано двумя или несколькими зарядами, то электрическое поле каждого заряда (как утверждает опыт) не зависит друг от друга, и напряженность электрического поля, поэтому определяется как векторная сумма напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами (рис. 6.1). В этом состоит принцип суперпозиции полей:

. (*)

Для наглядного (графического) описания электрических полей используется понятие силовой линии поля.

Силовой линией называют линию, проведенную в электрическом поле так (рис. 6.2), чтобы касательная в любой ее точке совпадала с направлением вектора напряженности. Силовой линии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора напряженности в каждой ее точке. Так как каждой точке поля соответствует вполне определенный вектор напряженности поля, то силовые линии нигде не пересекаются.

Условилисьпри изображении электрических полей с помощью линий напряженности, число силовых линий, проходящих через единичную поверхность, перпендикулярную к силовым линиям в данной точке поля, выбирать равным напряженности поля Е в данной точке (в этом состоит правило графического изображения полей с помощью силовых линий). При таком условии картина силовых линий электрического поля позволяет наглядно судить как о направлении, так и о величине напряженности поля в каждой точке.

Потенциал электрического поля

Помимо напряженности электрическое поле характеризуется еще одной важной физической величиной – потенциалом.

Рассмотрим перемещение заряда q в поле другого точечного заряда q 0 из точки 1 в точку 2 (рис. 6.3). Работа силы F на элементарном перемещении dl определяется соотношением

но

, значит

. Подставим сюда вместо силы ее значение из закона Кулона, получим:

. (6.6)

Для вычисления работы перемещения заряда из точки 1 в точку 2 по произвольному пути 1–2 проинтегрируем (6.6) в пределах от r 1 до r 2 , получим

. (6.7)

Из выражения (6.7) следует, что работа перемещения электрического заряда не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд, а зависит только от начальной и конечной точек. Если заряд q , перемещаясь в электрическом поле, возвращается в исходную точку (r 2 = r 1), то работа перемещения заряда по замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю. Поля, обладающие указанным свойством, называются потенциальными.

Найдем отношение работы перемещения заряда к величине этого заряда:

. (6.8)

Эта величина не зависит от величины перемещаемого заряда и от пути, по которому он перемещается, и поэтому служит характеристикой поля, созданного зарядом q 0 , и называется разностью потенциалов или электрическим напряжением.

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 электрического поля измеряется работой, совершаемой полем при перемещении единичного положительного заряда между этими точками.

Следует подчеркнуть, что разность потенциалов имеет смысл характеристики поля потому, что работа перемещения заряда не зависит от формы пути. Действительно, если бы работа перемещения заряда зависела от пути, то при перемещении одного и того же заряда между теми же самыми точками поля, это отношение A / q не являлось бы однозначной характеристикой этих точек поля.

Если выбрать какую-либо точку пространства в качестве начальной точки (точки отсчета), то любой точке можно сопоставить разность потенциалов относительно этой начальной точки.

Для случая поля точечного заряда наиболее простое математическое выражение для потенциала получается, если в качестве начальной выбрать любую точку, удаленную на бесконечность. Тогда работа перемещения положительного заряда q из бесконечности в данную точку поля, созданного другим точечным зарядом q 0 , будет равна

. (6.9)

Отношение работы перемещения положительного заряда из бесконечности в данную точку поля к величине этого заряда (работа по перемещению единичного заряда) называется потенциалом данной точки поля:

. (6.10)

Знак минус в этом выражении означает, что в данном случае работа совершается внешними силами против сил поля.

Очевидно, что напряжение U между произвольными точками 1 и 2 электрического поля и потенциалы этих точек связаны простым соотношением

. (6.11)

Для поля точечного заряда

. (6.12)

Потенциал любой точки поля, созданного положительным зарядом – положителен и убывает до нуля по мере удаления от заряда. Напротив – потенциал поля, созданного отрицательным зарядом, – отрицательная величина и растет до нуля по мере удаления от заряда.

Из выражения для потенциала (6.12) следует, что потенциал любой точки сферической поверхностиS c центром в точке расположения заряда одинаков (рис. 6.4). Такие поверхности называются поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями.

Работу перемещения заряда можно выразить через разность потенциалов

. (6.13)

Отсюда следует, что работа перемещения заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это значит, что сила, действующая на заряд, а следовательно, и вектор напряженности поля Е направлены перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Используя эквипотенциальные поверхности, можно также дать графическое изображение электрического поля.

Результаты, полученные для поля точечного заряда, легко распространить на поля, созданные любым числом точечных зарядов, а так как любое заряженное тело можно представить как совокупность точечных зарядов, то и на поле, созданное любым заряженным телом.

Поля точечных зарядов в соответствии с принципом суперпозиции, накладываясь друг на друга, не влияют друг на друга. Поэтому потенциал поля любого числа зарядов будет равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных отдельными зарядами, т. е.:

. (6.14)

Таким образом, все вышеизложенное в отношении понятия потенциала справедливо и для поля, созданного заряженным телом любой формы, а величину потенциала, в принципе, можно вычислить по формуле (6.14).

Закон Кулона.

Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен экспериментально в 1785 году Кулоном. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электрический заряд. Кулон измерял силу взаимодействия двух заряженных шариков в зависимости от величины зарядов на них и расстояния между ними и пришел к выводу, что сила взаимодействия двух не­подвижных точечных зарядов пропор­циональна величине каждого из заря­дов и обратно пропорциональна квад­рату расстояния между ними. Закон Кулона выражается формулой:

где k - коэффициент пропорциональности; q 1 и q 2 - величины взаимодействующих зарядов; r - расстояние между зарядами; r - радиус-вектор от одного заряда к другому. В случае одно­именных зарядов сила F оказывается положительной, что соответ­ствует отталкиванию между зарядами. В случае разноименных заря­дов сила отрицательна, что соответствует притяжению зарядов друг к другу. Закон Кулона справедлив от расстояний 10 -15 м и до нескольких километров.

В международной системе единиц (СИ) коэффициент пропорциональ­ности k в законе Кулона равен и выражение за­кона Кулона для зарядов в вакууме приобретает вид:

.

Величину называют электрической постоянной, она имеет раз­мерность электрической емкости, деленной на длину, и равна:

Подобная запись формулы называется рационализованной, a СИ при­надлежит к рационализованным системам единиц. Закон Кулона для силы взаимодействия зарядов в однородной диэлектрической среде в СИ имеет вид:

(3)

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Результирующая сила , о которой действует на данный за­ряд система N зарядов , определяется:

, (4)

Т.е. определяется векторной суммой сил действующих, на данный заряд q со стороны каждого из зарядов q i

Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться некоторым пробным зарядом q . Согласно закону Кулона на пробный заряд действует сила

Отношение для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле:

Эту векторную величину называют напряженностью электрического поля в данной точке. Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора совпадает с направление силы, действующей на положительный заряд.

Напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля

(6)

Направлен вектор вдоль прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ), действует сила, равная единице (1 Н в СИ)

.

Согласно приведенной формуле, сила, действующая на пробный заряд

Очевидно, что на всякий точечный заряд q в точке поля с напряженностью будет действовать сила

Если заряд положителен, направление силы совпадает с направлением вектора . В случае отрицательного q направление векторов и? противоположны.

Было указано ранее, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый, не входящий в систему заряд равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (4). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(8)

Это принцип суперпозиции (наложения электрических полей). Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.

Линии напряженности. Поток вектора напряженности. Электрическое поле можно описать определив для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности , которые также будем называть силовыми линиями. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора (рис.1). Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к линиям, было равно численному значению вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора в разных точках пространства.

Линии точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, от заряда, если он положителен, и к заряду если он отрицателен (рис.2). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Полное число линий N , пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r ,будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы . Густота линий по условию численно равна: .

Следовательно, N равно

Число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Отсюда вытекает, что силовые линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются. Линии начавшись на положительном заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде. Это свойство линий является общим для всех электрических полей.

Поскольку густота линий выбирается равной численному значению E , количество линий, пронизывающих площадку , перпендикулярную вектору , будет численно равно

Где – составляющая вектора по направлению нормали к площадке (рис.3). Отсюда для количества линий E , пронизывающих произвольную поверхность получется следующее выражение

, (10)

которое называется потоком вектора через поверхность S . N численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность S . Поток есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к площадке dS . Изменение направления нормали на противоположно изменяет знак у и, следовательно, у N .