Суммарная кинетическая энергия формула. Механическая энергия

Лекция 6

Работа, мощность и энергия

в поступательном и вращательном движении

Вопросы

Работа при поступательном и вращательном движении.

Мощность при поступательном и вращательном движении.

Кинетическая энергия материальной точки и абсолютно твердого тела.

Потенциальная энергия. Консервативные и диссипативные силы.

1. Работа при поступательном и вращательном движении

Энергия– универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

Чтобы измерить механическую энергию, необходимо заставить тело совершить работу .

Поступательное движение

Работа – скалярная величина, характеризующая изменение энергии, и равная произведению вектора силы на вектор перемещения .

Элементарная работа

(1)

Интегральная работа

(2)

Единица работы – джоуль

Правило знаков

  /2

А 1-2 > 0;   /2

А 1-2 < 0;  = /2

А 1-2 = 0 .

Единица работы – джоуль (Дж). По своему смыслу 1 Дж – работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Нм).

Вращательное движение

;





,

. (3)

т.е. работа силы, действующей на твердое тело при его вращении, равна произведению момента этой силы на угол поворота тела.

2. Мощность при поступательном и вращательном движении

Мощность – это скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы и численно равная работе, совершаемой за единицу времени.

Поступательное движение

Средняя мощность N ср = ∆A /∆t . (4)

Мгновенная мощность

.

(5)

Вращательное движение

Средняя мощность N ср = ∆A вр /∆t . (6)

Мгновенная мощность

. (7)

Единица мощности – ватт (Вт) ; 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

3. Кинетическая энергия материальной точки

и абсолютно твердого тела

Механическая энергия – это мера движения частиц механической системы. Она складывается из энергии движения (кинетической) и энергии взаимодействия (потенциальной)

Кинетическая энергия тела – это энергия, представляющая меру его механического движения и измеряемая той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки.

Поступательное движение

, (8)

кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости.

Вращательное движение

,(9)

кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции этого тела на квадрат его угловой скорости.

4. Потенциальная энергия. Консервативные и диссипативные силы

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия в поле сил тяжести

Изменение потенциальной энергии измеряется работой сил тяжести

при h 2 = 0 и h 1 h

. (10)

Видно, что работа, совершаемая силой тяготения при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положения тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2.

Сила , работа которой при перемещении точки из одного произвольного положения в другое не зависит от формы траектории , называется консервативной. Примерами консервативных сил могут служить помимо силы тяготения силы упругости, электростатического взаимодействия между заряженными телами.

При перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории работа консервативной силы тождественно равна нулю.

Силы, работа которых зависит от траектории перемещения точки, называются неконсервативными. К неконсервативным силам относятся силы трения, магнитные силы.

Правило знаков

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной С . Это не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная Е п по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в некотором положении (например, на поверхности Земли) выбирают нулевой, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Тогда

E п > 0 при h > 0; E п < 0 при h < 0 .

Потенциальная энергия в поле упругих сил

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости

;

, (11)

Изменение потенциальной энергии упругого деформирования определяется работой, которую совершает внешняя сила при удлинении пружины от величины х 1 до величины х 2 (х 1 < х 2)

. (12)

Из формулы (12) видно, что произведенная работа не зависит от того, каким образом произошло изменение длины пружины. Упругая сила, так же как и сила тяготения, консервативна .

Принимая за нулевую потенциальную энергию недеформированной пружины (Е п = 0 при х = 0), получаем выражение потенциальной энергии деформированной пружины в виде

. (13)

С увеличением деформации x в два раза энергия упругого деформирования увеличивается в 4 раза.

Силы и потенциальная энергия

Зная потенциальную энергию как функцию координат взаимодействующих материальных точек, можно вычислить действующие на эти точки силы.

Пусть точка переместилась на бесконечно малую величину

. ЕслиF x  сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии:

(14)

Векторная форма записи (14):

, (15)

Вектор, определяемый выражением (4.27), называется градиентом скаляра Е п. Для него наряду с обозначением grad Е п применяется также обозначение Е п, значок  (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

Глава 1. Механика

Законы сохранения в механике

1.19. Кинетическая и потенциальная энергии

Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от дото силы совершили определеннуюработу A .

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см. рис. 1.19.1).

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силыперемещенияскоростии ускорениянаправлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматриватьF , s , υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs . При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии . Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями . Такие силы называются консервативными .

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рис. 1.19.2.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещенияна осьOY , направленную вертикально вверх:

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh , взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

Потенциальная энергия E p зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY . Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔE p = E p2 – E p1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготения ). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии r от центра Земли, имеет вид (см. §1.24 ):

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x , или сначала удлинить ее на 2x , а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A , взятой с противоположным знаком (см. §1.18 ):

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x 1 , тогда при переходе в новое состояние с удлинением x 2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Свойством консервативности обладают наряду с силой тяжести и силой упругости некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

>>Физика 10 класс >>Физика: Кинетическая энергия и ее изменение

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия - это энергия тела, которую оно имеет вследствие своего движения.

Если говорить простым языком, то под понятием кинетической энергии следует подразумевать только ту энергию, которую имеет тело при движении. Если же тело пребывает в состоянии покоя, то есть, совершенно не движется, тогда кинетическая энергия будет равняться нулю.

Кинетическая энергия равняется той работе, которую она должна затратить, чтобы вывести тело из состояния покоя в состояние движения с какой-то скоростью.

Следовательно, кинетическая энергия является разностью между полной энергией системы и её энергией покоя. Иначе говоря, что кинетическая энергия будет частью полной энергии, которая обусловленная движением.

Давайте попробуем разобраться в понятии кинетической энергии тела. Для примера возьмем движение шайбы по льду и попробуем понять связь между величиной кинетической энергии и работой, которая должна быть выполнена, чтобы вывести шайбу из состояния покоя и привести ее в движение, имеющее некоторую скорость.

Пример

Играющий на льду хоккеист, ударив клюшкой по шайбе сообщает ей скорость, а так и кинетическую энергию. Сразу после удара клюшкой, шайба начинает очень быстрое движение, но постепенно ее скорость замедляется и наконец, она совсем останавливается. Это значит, что уменьшение скорости явилось результатом силы трения, происходящей между поверхностью и шайбой. Тогда сила трения будет направлена против движения и действия этой силы сопровождаются перемещением. Тело же использует имеющую механическую энергию, выполняя работу против силы трения.

Из этого примера мы видим, что кинетическая энергия будет той энергией, которую тело получает в результате своего движения.

Следовательно, кинетическая энергия тела, имеющая определенную массу, будет двигаться со скоростью равной той работе, которую должна выполнить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему данную скорость:

Кинетическая энергия является энергией движущегося тела, которая равняется произведению массы тела на квадрат его скорости, деленной пополам.

Свойства кинетической энергии

К свойствам кинетической энергии относятся: аддитивность, инвариантность по отношению к повороту системы отсчета и сохранение.

Такое свойство, как аддитивность являет собой кинетическую энергию механической системы, которая слагается из материальных точек и будет равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, которые входят в эту систему.

Свойство инвариантности по отношению к повороту системы отсчета обозначает, что кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости. Ее зависимость распространяется лишь от модуля или от квадрата её скорости.

Свойство сохранения обозначает, что кинетическая энергия при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы, совершенно не изменяется.

Это свойство неизменно по отношению к преобразованиям Галилея. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона будет вполне достаточно, для выведения математической формулы кинетической энергии.

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Но существует такая интересная дилемма, как то, что кинетическая энергия может быть зависимой от того, с каких позиций рассматривать эту систему. Если, например, мы берем объект, который можно рассмотреть только под микроскопом, то, как единое целое, это тело неподвижно, хотя существует и внутренняя энергия. При таких условиях кинетическая энергия появляется только тогда, когда это тело движется, как единое целое.

То же тело, если рассматривать на микроскопическом уровне, обладает внутренней энергией, обусловленной движением атомов и молекул, из которых оно состоит. А абсолютная температура такого тела будет пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул.

1. Предположим, что снаряд, летящий с некоторой скоростью, попадает в доску, пробивает ее насквозь и вылетает. Снаряд совершил работу против силы трения, следовательно, он обладал энергией вследствие своего движения.

Другой пример. Автомобиль, движущийся с выключенным двигателем, останавливается через некоторое время под действием сил трения. В начале торможения он тоже обладал энергией. Именно за счет этой энергии автомобиль совершил работу против сил трения.

Энергию, которой обладает тело вследствие своего движения, называют кинетической энергией.

Выясним, от чего зависит кинетическая энергия.

2. Предположим, что на тело массой m действует некоторая сила. Тело при этом перемещается и приобретает ускорение. При перемещении тела сила совершает работу.

Будем считать, что сила и перемещение направлены в одну сторону вдоль одной прямой (рис. 75). Если координатная ось X направлена в ту же сторону, то проекции на эту ось силы, перемещения и ускорения движение равны их модулям.

Сила F , действующая на тело, совершает работу A = Fs . Из второго закона Ньютона найдем силу:

F = ma .

Ускорение, с которым движется тело, равно: a = .

Подставив в формулу работы выражения для силы и перемещения, получим:

A = ms = m –=– .

В левой части равенства стоит работа силы. В правой части равенства стоит разность величин, характеризующих положение движущегося тела в некоторые моменты времени. Эти величины называют кинетической энергией тела в конечном и начальном положениях. Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле:

E к = .

Следовательно, можно записать

A = E к2 – E к1 , илиA = DE к.

Работа силы равна изменению кинетической энергии тела.

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии .

Если сила совершает положительную работу, то кинетическая энергия тела увеличивается. Скорость тела при этом возрастает. Если сила совершает отрицательную работу, то кинетическая энергия тела уменьшается. Это происходит, например, при уменьшении скорости тела при действии силы трения.

Кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Так же как и в том случае, когда тело обладает потенциальной энергией, работа может быть совершена за счет кинетической энергии. При совершении работы происходит изменение положения тела и изменение его энергии.

Вопросы для самопроверки

1. Какую энергию называют кинетической?

2. Чему равна кинетическая энергия тела?

3. В чем состоит теорема о кинетической энергии?

Задание 20

1. Самолет массой 150 т в момент отрыва от поверхности земли имеет скорость 300 км/ ч. Чему равна работа, совершаемая двигателем самолета при его разбеге? Чему равно изменение кинетической энергии самолета?

2. Самолет массой 150 т имеет скорость 300 км/ч в момент отрыва от поверхности земли. Через некоторое время его скорость становится равной 880 км/ч. Чему равна работа двигателей самолета при увеличении его скорости? Чему равно изменение его кинетической энергии? Чему равна кинетическая энергия самолета при его взлете и при движении со скоростью 880 км/ч?

3. На рисунке 76 приведен график зависимости кинетической энергии автомобиля от квадрата его скорости. Определите, пользуясь графиком, массу автомобиля.

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆E k = E k2 - E k1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Закон сохранения механической энергии

В ньютоновской механике формулируется частный случай закона сохранения энергии – Закон сохранения механической энергии , звучащий следующим образом:

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может исчезнуть в никуда.

Е k1 + Е п1 = Е k2 + Е п2

Любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте, имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает терять.Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а превращается в кинетическую энергию этого же тела.

Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью. Следовательно, начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт уменьшаться его потенциальная энергия. В точке падения кинетическая энергия тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.

Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в этот момент равна нулю. Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же величину. А сумма их значений останется неизменной. Потенциальная энергия яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую энергию.

Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной постоянной . Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

На какую величину уменьшится потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не изменится.

Для замкнутой системы физических тел справедливо равенство E k1 + E п1 = E k2 + E п2 , где E k1 , E п1 - кинетическая и потенциальная энергии системы до какого-либо взаимодействия, E k2 , E п2 - соответствующие энергии после него.

ЭНЕРГИЯ. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Цель урока: учащиеся должны знать понятие энергии, кинетической энергии и единицы ее измерения.

Тип урока: комбинированный.

План изучения нового материала.

1. Понятие кинетической энергии тела и единица ее измерения.

2. Теорема о кинетической энергии.

3. Расчет тормозного пути автомобиля.

Ход урока

I . Орг. момент

Опрос отсутствующих, проверка домашнего задания.

II . Изучение нового материала.

Энергия

1. Понятие энергии

Если тело или система тел могут совершать работу, то говорят, они обладают энергией.

Энергия в механике – величина, определяемая состоянием системы – положением тел и их скоростями; измерение энергии при переходе системы из одного состояния в другое равно работе внешних сил.

1. Понятие кинетической энергии тела и единица ее измерения.

Кинетическая энергия тела - скалярная физическая величи­на, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

.

Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях (Дж). Кинетическая энергия зависит от скорости тела, следовательно ее значение зависит от выбора системы отсчета.

2. Теорема о кинетической энергии.

Определим физическую величину, изменяющуюся при совер­шении работы. Рассмотрим для этого движение тела массой т, скорость которого увеличивается от скорости

до и под действием всех приложенных к нему сил. Работа равнодействующей постоянной силы совпадающей по направлению с перемещением , равна А = F ∆ x . Так как F = та, , то . Или

Эту формулу называют теоремой о кинетической энергии, где

– кинетическая энергия в начальный момент времени.

Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело: Е к -Е к0 =А. Теорема о кинетической энергии сводится к равенству

3. Расчет тормозного пути автомобиля.

В случае торможения тела, обладающего начальной кинетической энергией Е к0

, вплоть до остановки ( v = 0, 0), теорему о кинетической энергии следует представить в виде

Найдем тормозной путь автомобиля - расстояние, проходимое им до полной остановки. В процессе торможения на автомобиль действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила тре­ния. Сила тяжести и сила реакции опоры направлены перпендикулярно перемещению автомобиля, поэтому их работа равна нулю. Это означает, что суммарная работа всех сил равна работе силы трения скольжения. Учитывая, что сила направлена противопо­ложно перемещению l и что F тр =µN , находим А = А тр = - µmgl