Потенциальная энергия сжатой пружины определяется. Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины

Груз массой m , подвешенный к пружине, совершает колебания с периодом T и амплитудой Что произойдет с периодом колебаний, максимальной потенциальной энергией пружины и частотой колебаний, если при неизменной амплитуде уменьшить массу груза?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась;

2) уменьшилась;

3) не изменилась.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Решение.

Период колебаний связан с массой груза и жесткостью пружины k соотношением При уменьшении массы период колебаний уменьшится. Частота обратно пропорциональна периоду, значит, частота увеличится.

С максимальной потенциальной энергией пружины все немного сложнее. Для ответа на вопрос, что с ней произойдет существенно, что пружина ориентирована вертикально (для горизонтального пружинного маятника при неизменной амплитуде данная величина, естественно, останется неизменной). Действительно, когда к вертикальной пружине подвешивают груз, она сразу немного растягивается, чтобы уравновесить силу тяжести, действующую на груз. Определим это начальное растяжение: Именно это состояние является положением равновесия для вертикального пружинного маятника, колебания происходят вокруг него, груз поднимается и опускается из этого положения на величину амплитуды. При движении вниз из положения равновесия пружина продолжает растягиваться, а значит, потенциальная энергия пружины продолжает увеличиваться. При движении вверх из положения равновесия, сперва деформация пружины уменьшается, а если то пружины начнет сжиматься. Максимальной потенциальной энергии пружины соответствует состояние, когда она максимально растянута, а значит, в нашем случае, это положение, когда груз опустился максимально вниз. Таким образом, максимальная потенциальная энергия пружины равна

Из этой формулы видно, что для вертикального пружинного маятника при неизменной амплитуде и уменьшении массы груза максимальная потенциальная энергия пружины уменьшится.

Ответ: 221.

Ответ: 221

Гость 19.12.2012 02:31

у меня вопрос,как объяснить увеличивается частота колебания или нет.спасибо

Гость

Добрый день!

В решение же сказано, что частота обратно пропорциональна периоду: . После того, как Вы разобрались, что стало с периодом, как изменилась частота уже понятно.

Гость 10.01.2013 18:51

Здравствуйте! Почему Максимальная потенциальная энергия пружины уменьшится? Ведь амплитуда остается та же, а максимальная потенциальная энергия зависит от силы растяжения, то есть от амплитуды? то есть максимальная потенциальная энергия должна оставаться та же...

Гость

Добрый день!

Читайте внимательнее решение, там все сказано.

Никита Лосик 07.05.2013 10:33

У вас неправильный ответ, так как не изменяется амплитуда не изменяется потенциальная энергия тоже не изменяется, вы слишком намутили в решении.

http://sverh-zadacha.ucoz.ru/ege/2010prob/v3/2010B-3.htm

Самая первая задача

Алексей

Добрый день!

Вовсе не перемудрили. Потенциальной энергией пружины называется величина . Здесь --- деформация. Она определяется не только амплитудой, но и начальным растяжением.

Обратите внимание, что у такого маятникак пружина вообще может быть все рвемя растянута, то есть ее энергия вообще не будет обращаться в ноль, а маятник будет колебаться как обычно.

Гость 24.05.2013 09:50

Добрый день!Указание в конце задачи на неизменную амплитуду,приводит к неправильным решениям.Это эказание само по себе уже ошибочная постановка вопроса.Поэтому и "сломаные копьи "предшественников.

Алексей

Добрый день!

Амплитуда --- это отклонение из положения равновесия. Изменение массы приводит к изменению положения равновесия. Никаких разночтений возникать не должно

Григорий Ковальчук 22.11.2015 10:35

Здравствуйте, а за счёт чего увеличилась частота колебаний?

Ирина Сафиулина

За счет изменения массы груза. Для удобства посмотрите формулу периода для математического маятника. Период с уменьшением массы уменьшается. Частота - есть величина обратно пропорциональная периоду, следовательно, при уменьшении массы частота увеличивается.

Гость 23.02.2016 08:37

Господа, в МОДЕЛИ вертикального пружинного маятника нет зависимости максимальной энергии системы (что потенциальной, что кинетической, и, как следствие, их суммы) от массы груза. Первоначальное растяжение компенсирует действие силы тяжести, и далее сила тяжести не рассматривается. Да, в уравнение движения маятника масса входит, она характеризует частоту колебаний, но энергия системы зависит от амплитуды и жесткости пружины, E=(kA^2)/2. Потенциальная энергия E=(kx^2)/2 тоже не зависит от массы. В формулу кинетической энергии масса входит, но математика говорит, что она также не влияет - при интегрировании координаты и возведении её в квадрат массы в формуле для кинетической энергии сокращаются.

Конечно, пружина сама по себе получает первоначальное растяжение. Но введение его (растяжение) в модель свободных незатухающих колебаний без оговорок приводит к нарушению закона сохранения энергии. E потенциальная в нижней точке тогда равна k(A+x0)^2/2, а в верхней k(A-x0)^2/2, а модель требует признать их равными между собой и равными полной энергии. Тогда для соблюдения З.С.Э. в модель надо вводить потенциальную энергию груза mgh, но ведь в школьной программе этого нет?

Вопрос составлен безграмотно (он, кстати не единственный, в разделе маятников также сделан акцент на неравенстве потенциальных энергий в верхней и нижней точках), ответ на него предлагается неверный (в рамках школьной программы)

Антон

Пусть ось направлена вниз и её начало координат находится в точке подвеса пружины. Тогда потенциальная энергия системы равна

Если к растянутой пружине прикрепить некоторое тело, то пружина будет действовать на него с некоторой силой, под действием которой тело начнет смещаться. Следовательно, будет совершена работа

Сила, с которой пружина действует на тело, не является постоянной, поэтому для вычисления работы воспользуемся графическим методом. Построим график зависимости силы упругости F = kx от координаты, которая является прямой линией

Площадь выделенного треугольника под графиком равна максимальной работе, которую может совершить пружина. Понятно, что она равна:

Для того чтобы пружине приписать потенциальную энергию, равную максимальной работе (1), необходимо показать, что эта работа не зависит от траектории движения тела. Чтобы доказать это утверждение, достаточно рассмотреть работу на малом участке перемещения Δr при движении по произвольной траектории

В данном случае эта работа полностью определяется изменением деформации пружины х, поэтому она не зависит от траектории движения тела.

Таким образом, силы упругости, подчиняющиеся закону Гука, являются потенциальными, и потенциальная энергия деформированной пружины определяется формулой

Нулевой уровень потенциальной энергии, рассчитываемой по формуле (2), соответствует недеформированной пружине.
 Подсчитаем, какую минимальную работу следует совершить, чтобы пружину жесткостью k растянуть на величину x

Чтобы деформировать пружину, к ней необходимо приложить внешнюю силу. Очевидно, что эта работа будет минимальна в том случае, если внешняя приложенная сила в любой точке равна силе упругости, действующей со стороны пружины. Поэтому работа этой силы будет равна: А = kx2/2, то есть увеличению потенциальной энергии пружины.

19. Потенциальная энергия гравитационного притяжения

Все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу с силой, подчиняющейся закону всемирного тяготения И. Ньютона. Следовательно, притягивающиеся тела обладают энергией взаимодействия

 Покажем, что работа гравитационных сил не зависит от формы траектории, то есть гравитационные силы также являются потенциальными. Для этого рассмотрим движение небольшого тела массой m, взаимодействующего с другим массивным телом массой М, которое будем полагать неподвижным
Как следует из закона Ньютона, сила F, действующая между телами, направлена вдоль линии, соединяющей эти тела. Поэтому при движении телаm по дуге окружности с центром в точке, где находится тело М, работа гравитационной силы равна нулю, так как векторы сил и перемещения все время остаются взаимно перпендикулярными. При движении вдоль отрезка, направленного к центру тела М, векторы перемещения и силы параллельны, поэтому в этом случае при сближении тел работа гравитационной силы положительна, а при удалении тел − отрицательна. Далее заметим, что при радиальном движении работа силы притяжения зависит только от начального и конечного расстояний между телами. Так, при движении по отрезкам (рис. 162) DE и D1E1 совершенные работы равны, так как законы изменения сил от расстояния на обоих отрезках одинаковы. Наконец, произвольную траекторию тела m можно разбить на набор дуговых и радиальных участков (например, ломаная ABCDE).

При движении по дугам работа равна нулю, при движении по радиальным отрезкам работа не зависит от положения этого отрезка, следовательно, работа гравитационной силы зависит только от начального и конечного расстояний между телами, что и требовалось доказать.
 Заметьте, что при доказательстве потенциальности мы воспользовались только тем фактом, что гравитационные силы являются центральными, то есть направленными вдоль прямой, соединяющей тела, и не упоминали о конкретном виде зависимости силы от расстояния. Следовательно, все центральные силы являются потенциальными.
 Мы доказали потенциальность силы гравитационного взаимодействия между двумя точечными телами. Но для гравитационных взаимодействий справедлив принцип суперпозиции: сила, действующая на тело со стороны системы точечных тел, равна сумме сил парных взаимодействий, каждая из которых является потенциальной, следовательно, и их сумма также потенциальна. Действительно, если работа каждой силы парного взаимодействия не зависит от траектории, то и их сумма также не зависит от формы траектории.  Таким образом, все гравитационные силы потенциальны.
 Нам осталось получить конкретное выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия.
 Для вычисления работы силы притяжения между двумя точечными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2

Очередной раз воспользуемся графическим методом, для чего построим зависимость силы притяжения F = GMm/r2 от расстояния r между телами. Тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе

Вычисление этой площади представляет собой не слишком сложную задачу, требующее, однако, определенных математических знаний и навыков. Не вдаваясь в детали этого расчета, приведем конечный результат: для данной зависимости силы от расстояния площадь под графиком, или работа силы притяжения, определяется формулой

А12 = GMm(1/r2 − 1/r1).

Так как мы доказали, что гравитационные силы являются потенциальными, эта работа равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть

А12 = GMm(1/r2 − 1/r1) = −ΔU = −(U2 − U1).

Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия:

U(r) = −GMm/r. (1)

При таком определении потенциальная энергия отрицательна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами: U(∞) = 0. Формула (1) определяет работу, которую совершит сила гравитационного притяжения при увеличении расстояния от r до бесконечности, а так как при таком движении векторы силы и перемещения направлены в противоположные стороны, то эта работа отрицательна. При противоположном движении, при сближении тел от бесконечного расстояния до расстояния r, работа силы притяжения будет положительна. Эту работу можно подсчитать по определению потенциальной энергии:

Подчеркнем, что потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия, по меньшей мере, двух тел. Нельзя говорить о том, что энергия взаимодействия «принадлежит» одному из тел, или каким образом «разделить эту энергию между телами». Поэтому когда мы говорим об изменении потенциальной энергии, мы подразумеваем изменение энергии системы взаимодействующих тел. Однако в некоторых случаях допустимо все же говорить об изменении потенциальной энергии одного тела. Так, при описании движения небольшого, по сравнению с Землей, тела в поле тяжести Земли говорим о силе, действующей на тело со стороны Земли, как правило, не упоминая и не учитывая равную силу, действующую со стороны тела на Землю. Дело в том, что при громадной массе Земли изменение ее скорости исчезающее мало. Поэтому изменение потенциальной энергии взаимодействия приводит к заметному изменению кинетической энергии тела и бесконечно малому изменению кинетической энергии Земли. В такой ситуации допустимо говорить о потенциальной энергии тела вблизи поверхности Земли, то есть всю энергию гравитационного взаимодействия «приписать» небольшому телу. В общем случае, можно говорить о потенциальной энергии отдельного тела, если остальные взаимодействующие тела неподвижны.

Мы неоднократно подчеркивали, что точка, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю, выбирается произвольно. В данном случае такой точкой оказалась бесконечно удаленная точка. В некотором смысле этот непривычный вывод может быть признан разумным: действительно, на бесконечном расстоянии исчезает взаимодействие − исчезает и потенциальная энергия. С этой точки зрения логичным выглядит и знак потенциальной энергии. Действительно, чтобы разнести два притягивающиеся тела, внешние силы должны совершить положительную работу, поэтому в таком процессе потенциальная энергия системы должна возрастать: вот она возрастает, возрастает и... становится равной нулю!
Если притягивающиеся тела соприкасаются, то сила притяжения не может совершать положительную работу, если же тела разнесены, то такая работа может быть совершена при сближении тел. Поэтому часто говорят о том, что притягивающиеся тела обладают отрицательной энергией, а энергия отталкивающихся тел положительна. Это утверждение справедливо только в том случае, если нулевой уровень потенциальной энергии выбирается на бесконечности. Так, если два тела связаны пружиной, то при увеличении расстояния между телами между ними будет действовать сила притяжения, тем не менее, энергия их взаимодействия является положительной. Не забывайте, что нулевому уровню потенциальной энергии соответствует состояние недеформированной пружины а не бесконечность)..

Изучение закона сохранения механической энергии при действии на тело сил тяжести и упругости

I. Подготовительная часть.

1) Внимательно просмотрите видеоролики и в процессе просмотра запишите основные сведения по теме «Закон сохранения энергии» в тетрадь для практических работ.

2) Для выполнения практической работы №2 необходимо повторить конспект занятия №3 «Законы сохранения энергии» и прочитать и проанализировать следующий текст.

Потенциальная энергия

Камень, упав с некоторой высоты на Землю, оставляет на поверхности Земли вмятину. Во время падения он совершает работу по преодолению сопротивления воздуха, а после касания земли – работу по преодолению силы сопротивления почвы, поскольку обладает энергией. Если накачивать в закрытую пробкой банку воздух, то при некотором давлении воздуха пробка вылетит из банки, при том воздух совершит работу по преодолению трения пробки о горло банки, благодаря тому, что воздух обладает энергией. Таким образом, тело может совершить работу, если оно обладает энергией.

При совершении работы изменяется состояние тела и изменяется его энергия. Изменение энергии равно совершенной работе (поэтому и единица измерения энергии, и единица работы – Дж ).

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия тел или частей тела, зависящую от их взаимного расположения.

Поскольку тела взаимодействуют с Землей, то они обладают потенциальной энергией взаимодействия с Землей.

Если тело массой m падает с высоты до высоты , то работа силы тяжести на участке равна: или (рис 1).

рис. 1

В полученной формуле характеризует начальное положение (состояние) тела, характеризует конечное положение (состояние) тела. Величина - потенциальная энергия тела в начальном состоянии ; величина - потенциальная энергия тела в конечном состоянии .

Можно записать , или , или . Таким образом, работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела . Знак «-» означает, что при движении тела вниз и соответственно при совершении силой тяжести положительной работы потенциальная энергия тела уменьшится . Если тело поднимается вверх, то работа силы тяжести отрицательна, а потенциальная энергия тела увеличивается .

Если тело находится на некоторой высоте h относительно поверхности Земли, то его потенциальная энергия, в данном состоянии равна . Значение потенциальной энергии зависит от того, относительно какого уровня она отсчитывается. Уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю, называют нулевым уровнем .

В отличие от кинетической энергии потенциальной энергией обладают покоящиеся тела. Поскольку потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, то она относится не к одному телу, а к системе взаимодействующих тел. В данном случае эту систему составляют Земля и поднятое над ней тело.

Потенциальной энергией обладают упруго деформированные тела. Предположим, что левый конец пружины закреплен, а к правому ее концу прикреплен груз. Если пружину сжать, сместив правый ее конец на , то в пружине возникает сила упругости , направленная вправо (рис 2).

рис. 2

Если теперь предоставить пружину самой себе, то ее правый конец переместится, удлинение пружины будет равно , а сила упругости .

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины.

- потенциальная энергия пружины в начальном состоянии

- потенциальная энергия пружины в конечном состоянии

При растяжении и сжатии пружины сила упругости совершает отрицательную работу, потенциальная энергия пружины увеличивается , а при движении пружины к положению равновесия сила упругости совершает положительную работу, а потенциальная энергия уменьшается .

Если пружина деформирована и ее витки смещены относительно положения равновесия на расстояние x , то потенциальная энергия пружины в данном состоянии равна .

Теорема о потенциальной энергии: Физическое тело (или система тел) всегда будет стремится занять такое положение, в котором потенциальная энергия равна 0 или минимальна относительно других положений этого тела.

Кинетическая энергия

Движущиеся тела так же могут совершать работу. Например, движущийся поршень сжимает находящийся в цилиндре газ, движущийся снаряд пробивает мишень и т.п. следовательно, движущиеся тела обладают энергией. Энергия, которой обладает движущееся тело, называется кинетической энергией. Кинетическая энергия зависит от массы тела и его скорости:

Это следует из преобразования формулы работы.

Работа . Сила . Подставив это выражение в формулу работы, получим .

Так как

, то или , где

- кинетическая энергия тела в первом состоянии

- кинетическая энергия тела во втором состоянии

Таким образом, работа силы равна изменению кинетической энергии тела , или . Это утверждение – теорема о кинетической энергии . если сила совершает положительную работу, то кинетическая энергия увеличивается , если работа силы отрицательная, то кинетическая энергия тела уменьшается .

Механическая энергия

Полная механическая энергия Е тела – физическая величина, равная сумме его потенциальной и кинетической энергии: .

Закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы (силы тяготения или силы упругости) сохраняется.

где и - потенциальная энергия и кинетическая энергия тела в состоянии 1 или в момент времени 1,

где и - потенциальная энергия и кинетическая энергия тела в состоянии 2 или в момент времени 2.

Консервативная сила – сила, работа которой при перемещении материальной точки зависит только от начального и конечного положения точки в пространстве.

В реальных системах действуют силы трения, которые не являются консервативными, поэтому в таких системах полная механическая энергия не сохраняется, она превращается во внутреннюю энергию.

3) Для удачного выполнения заданий теста изучите приведенные ниже примеры пошагового решения задач на использование закона сохранения энергии

Пример 1: Тело массой 10 кг свободно падает с высоты 20 м из состояния покоя. Чему равна кинетическая энергия в момент удара о Землю? В какой точке траектории кинетическая энергия втрое больше потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.

№ шага	Алгоритм	Выполнение
1.		Тело массой 10 кг свободно падает с высоты 20 м из состояния покоя. Чему равна кинетическая энергия в момент удара о Землю? В какой точке траектории кинетическая энергия втрое больше потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.
2.	)	Дано: т=10 кг 20 м
3.
4.
5.	Под словом «Решение» 1) изображаем схематический чертеж, поясняющий ситуацию в задаче,	Состояние 0 т Состояние 2 Состояние 1
2) затем записываем закон сохранения энергии в общем виде
3) дальнейшие рассуждения	Примем за тело отсчета Землю, тогда: Учитывая, что , , получим: или (1) Запишем закон сохранения энергии для точки траектории, где : Учитывая, что и , получим: , откуда (2)
6.		(1) (2)
7.	Запишите ответ	Ответ: , .

Пример 2: . На какой высоте кинетическая энергия камня будет равна его потенциальной энергии? Сопротивлением воздуха пренебречь.

№ шага	Алгоритм	Выполнение
1.	Внимательно прочитайте текст задачи	Камень брошен вертикально вверх со скоростью . На какой высоте кинетическая энергия камня будет равна его потенциальной энергии? Сопротивлением воздуха пренебречь.
2.	Запишите в «Дано» буквенное обозначение и числовое значение известных по тексту физических величин. Необходимо знать ускорение свободного падения (в некоторых задачах разрешается округлять до значения )	Дано: 0
3.	Под горизонтальной чертой запишите буквенное обозначение неизвестной (искомой) величины, знак «=» и «?»
4.	Проверьте, все ли величины выражены в системе СИ. Если нет, то переводим и записываем результат в столбик «в СИ»	В данной задаче все величины изначально по условию в системе СИ, и соответственно столбик «в СИ» пропускаем.
5.	Под словом «Решение» 4) изображаем схематический чертеж, поясняющий ситуацию в задаче,	Состояние 0 т Состояние 2 , Состояние 1
5) затем записываем закон сохранения энергии в общем виде	Согласно закону сохранения энергии, так как система замкнутая . Также можно записать .
6) дальнейшие рассуждения	Так как камень брошен с Земли, то и , то . Учитывая, что , тогда получим . Следовательно,
6.	Подставьте числовые значения, вместе с единицами измерения, проведите расчет и работу с единицами измерения
7.	Запишите ответ	Ответ: