Закон Джоуля Ленца в интегральной форме

Форма энергии, которая выделяется при прохождении по проводнику электрического тока, зависит от природы физических факторов, которые вызывают падение потенциала. Так, например, изменение потенциала на сопротивлении проводов сопровождается выделением тепла, падение напряжения на клеммах двигателя постоянного тока связано с производством механической работы.

Допустим, что участок цепи -- неподвижный проводник. Вся работа тока превращается в тепло, которое на проводнике выделяется. Если проводник однороден, подчиняется закону Ома:

где $R$ -- сопротивление проводника, то можно записать, что работа (А) электрического тока равна:

где $t$ -- время прохождения током рассматриваемого проводника, то вся выделенная на проводнике энергия в виде тепла равна:

Формула (3) есть закон Джоуля -- Ленца в интегральной форме. Этот закон открыт в 1841 г. Джоулем и позднее Ленц подробно исследовал его.

В том случае, если сила тока не постоянна во времени, то количество тепла, которое выделяется на проводнике можно рассчитать в соответствии с формулой:

Необходимо отметить, что эффект нагревания проводника током находит применение на практике. Наиболее известное из них -- лампы накаливания.

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

Над электроном, который движется в проводнике со скоростью $\overrightarrow{v"}=\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right),$ где $\overrightarrow{v}$ -- скорость теплового движения молекул, $\overrightarrow{u}$ -- скорость упорядоченного движения носителей тока при наличии поля за единицу времени (t=1с), совершается работа равная ($A_q$):

Примем, что $\overrightarrow{F}$=const, усредним выражение (4), получим:

где $\left\langle \overrightarrow{v}\right\rangle $=0. Если через n- обозначим концентрацию электронов, то работа над электронами в единице объема металла ($A"$) за единицу времена равна:

где $\overrightarrow{j}$ -- плотность тока, $\sigma $ -- удельная проводимость проводника.

В металлах эта работа идет на приращение внутренней энергии, так как прохождение электрического тока по проводнику не сопровождается изменением структуры металла. Значит, можно записать, что удельное количество тепла (удельная мощность тепловыделения) $Q_{ud}$, которое выделяется на проводнике в единице объема за единицу времени равно:

Формула (8) закон Джоуля -- Ленца в локальной (дифференциальной) форме. В форме (8) данный закон не зависит от природы сил, которые порождают ток, значит, в такой формулировке носит общий характер. В том случае, если сила, которая действует на электроны исключительно электрической природы, то есть:

выражение (8) можно представить как:

Закон Джоуля -- Ленца справедлив и для электролитов. Что означает, работа электрического поля не тратится на образование ионов. Ионы в растворе образуются в результате диссоциации молекул, когда происходит процесс растворения.

Пример 1

Задание: Электрический ток проходит по спирали с сопротивлением R. Ток равномерно убывает до нуля за время $\triangle t$. За обозначенный период времени через спираль проходит заряд q. Какое количество тепла выделится на спирали за данный промежуток времени?

В качестве основы для примем закон Джоуля Ленца в виде:

Из определения силы тока запишем:

следовательно, заряд, который проходит через проводник, равен:

В условии задачи сказано, что ток убывает равномерно, следовательно, закон убывания тока ищем в виде:

где $a,b$ постоянные. За начальный момент времени примем $t_1$=0, тогда $t_2=\triangle t.\ $Подставим (1.4) в (1.3) проведем интегрирование:

По условию задачи в некоторый момент времени $t_2$ ток стал равен нулю, то есть:

Найдем коэффициент a из (1.5), учитывая (1.7):

Подставим (1.8) в (1.1), получим искомое тепло:

\ \

Ответ: Q=$\frac{4q^2}{3\triangle t}R.$

Установлен в 1841 году Джеймсом Джоулем и независимо от него в 1842 году Эмилием Ленцем .

В словесной формулировке звучит следующим образом

Мощность тепла, выделяемого в единице объёма среды при протекании электрического тока, пропорциональна произведению плотности электрического тока на величину напряженности электрического поля

Математически может быть выражен в следующей форме:

где - мощность выделения тепла в единице объёма, - плотность электрического тока, - напряжённость электрического поля , σ - проводимость среды.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца.

Прохождение электрического тока по проводнику представляет собой процесс упорядоченного движения зарядов в электрическом поле, существующем в проводнике. При этом силы электрического поля, действующие на заряды, совершают работу. Назовем эту работу “работой тока” (Aэл.) и рассчитаем ее на участке цепи 1-2, содержащем сопротивление R (см. рисунок).

Из электростатики известно, что Aэл. = q*(f1 - f2).

В темах 1 и 2 раздела “постоянный ток” показано, что

q = I*t; U = I*R; U = f1 - f2

Следовательно, работу тока можно вычислить с помощью следующего соотношения:

Aэл. = I*U*t = I2*R*t = U2*t/R . (12)

Мощностью (Nэл.) называется работа, совершаемая током за единицу времени:

Следовательно,

Nэл. = I*U = I2*R = U2/R . (13)

Мощность электрического тока на опыте определяется с помощью амперметра и вольтметра или специального прибора – ваттметра.

Закон Джоуля-Ленца

Если по активному сопротивлению (проводнику) течет постоянный ток, то работа тока на этом участке идет на преобразование электрической энергии во внутреннюю. Увеличение внутренней энергии проводника приводит к повышению его температуры (проводник нагревается).

По закону сохранения энергии количество теплоты (Q), выделяющееся в проводнике при прохождении электрического тока, равно работе тока: Q = Aэл.

Следовательно,

Q = I*U*t = I2*R*t = U2*t/R . (14)

Формула (14) есть закон Джоуля-Ленца для однородного участка цепи.

Закон также может быть сформулирован в интегральной форме для случая протекания токов в тонких проводах :

Закон Джоуля Ленца определяет выделенное количество тепла на участке электрической цепи обладающей конечным сопротивлением при прохождении тока через нее. Обязательным условием является тот факт, что на этом участке цепи должны отсутствовать химические превращения.

Возьмём проводник, к концам которого приложено напряжение. Следовательно, через него протекает ток. Таким образом, электростатическое поле и внешние силы совершают работу по перемещению электрического заряда от одного конца проводника к другому.

Если при этом проводник остается неподвижный и внутри него не происходят химические превращения. То вся работа, затрачиваемая внешними силами электростатического поля, идет на увеличение внутренней энергии проводника. То есть на его разогрев.

Q=UIt=I*I*R*t=(U*U/R)*t

Формула 1 - Закон Джоуля-Ленца

Данное соотношение независимо друг от друга получили два ученых. Это были Дж. Джоуль и Э.Х.Ленц. Таким образом, в итоге закон получил название закон Джоуля-Ленца.

Также можно рассматривать не весь проводник целиком, а лишь какой-то его фрагмент. Допустим если взять элементарный объём цилиндрической формы. При этом ось этого цилиндра совпадает с направлением тока. То количество тепла, которое выделяется в единицу времени в этом элементарном объёме, будет называться удельной тепловой мощностью.

W=(d*d*Q)/(dV*dt)

Формула 2 - удельная тепловая мощность

В дифференциальной форме закон Джоуля Ленца будет выглядеть так

Формула 3 - Дифференциальная форма записи Закона Джоуля Ленца

Звучит он, таким образом, удельная мощность тока будет равняться скалярному произведению векторов напряжённости эклектического поля на плотность тока в проводнике.

Также необходимо заметить, что закон Джоуля Ленца в дифференциальной форме может применяться не только к проводникам, но и к полупроводникам, а еще и к электролитам. Еще можно заметить, при этом не важна природа внешних сил, которые вызывают ток.

Примеров использования в повседневной жизни закона Джоуля Ленца можно привести массу. Например, нихромовая спираль в электрическом обогревателе. Также обычная лампочка накаливания. Либо электрическая дуга в электродуговой сварке. Так, казалось бы, на первый взгляд для совершенно несвязанных между собой вещей в основе лежит один и тот же физический процесс.

17.Сегнетоэлектрики - диэлектрики, которые обладают в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т. е. поляризованностью в условиях отсутствия внешнего электрического поля. К сегнетоэлектрикам относятся, например, подробно изученные И. В. Курчатовым (1903-1960) и П. П. Кобеко (1897-1954) сегнетова соль NaKC 4 H 4 O 6 4Н 2 O (от нее и было получено данное название) и титанат бария ВаТiO 3 .ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ

кристаллические вещества, в к-рых при сжатии или растяжении в определённых направлениях возникает электрич. поляризация даже в отсутствии электрич. поля (п р я м о й п ь е з о э ф ф е к т). Следствием прямого пьезоэффектаявл. о б р а т н ы й п ь е з о э ф ф е к т - появление механич. деформации под действием электрич. поля. Связь между механич. и электрич. переменными (деформацией и электрич. полем) носит в обоих случаях линейный характер. Обратныйпьезоэффект следует отличать от электрострикции.

Пироэлектрики -кристаллическиедиэлектрики, обладающие самопроизвольной (спонтанной)поляризациейв отсутствие внешних воздействий. Обычно спонтанная поляризация не заметна, так как электрическое поле, создаваемое ею, компенсируется полем свободныхэлектрических зарядов, которые «натекают» на поверхность пироэлектрика из егообъёмаи из окружающеговоздуха. При изменении температуры величина спонтанной поляризации изменяется, что вызывает появление электрического поля, которое можно наблюдать до его компенсации свободными зарядами.

Диэлектрик (изолятор) - вещество, плохо проводящее или совсем не проводящее электрический ток. Плотность свободных носителей заряда в диэлектрике не превышает 108 шт/см³. Основное свойство диэлектрика состоит в способности поляризоваться во внешнем электрическом поле. Физическим параметром, который характеризует диэлектрик, является диэлектрическая проницаемость. Диэлектрическая проницаемость может иметь дисперсию. К диэлектрикам относятся воздух и другие газы, стекло, различные смолы, пластмассы непременно сухие. Химически чистая вода также является диэлектриком.

Развитие радиотехникипотребовало создания материалов, в которых специфические высокочастотные свойства сочетаются с необходимыми физико-механическими параметрами. Такие материалы называют высокочастотными. Для понимания электрических, магнитных и механических свойств материалов, а также причин старения нужны знания их химического и фазового состава, атомной структуры и структурных дефектов.

18.Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц или заряженных макроскопических тел. Различают два вида электрических токов – токи проводимости и конвекционные токи.

Током проводимости называют упорядоченное движение в веществе или вакууме свободных заряженных частиц – электронов проводимости (в металлах), положительных и отрицательных ионов (в электролитах), электронов и положительных ионов (в газах), электронов проводимости и дырок (в полупроводниках), пучков электронов (в вакууме). Этот ток обусловлен тем, что в проводнике под действием приложенного электрического поля напряженностью происходит перемещение свободных электрических зарядов.Конвекционным электрическим током называют ток, обусловленный перемещением в пространстве заряженного макроскопического тела Для возникновения и поддержания электрического тока проводимости необходимы следующие условия: 1) наличие свободных носителей тока (свободных зарядов); 2) наличие электрического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов; 3) на свободные заряды, помимо кулоновских сил, должны действовать сторонние силы неэлектрической природы; эти силы создаются различными источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, электрическими генераторами и др.); 4) цепь электрического тока должна быть замкнутой. За направление электрического тока условно принимают направление движения положительных зарядов, образующих этот ток. Количественной мерой электрического тока является сила тока I - скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение S проводника в единицу времени:

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным Для постоянного тока

Электрический ток, изменяющийся с течением времени, называется переменным . Примером такого тока является синусоидальный электрический ток, применяемый в электротехнике и электроэнергетике (рис. 2.2, б ). Единица силы тока – ампер (А). В СИ определение единицы силы тока формулируется следующим образом: 1А – это сила такого постоянного тока, который при протекании по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими проводниками силу, равную на каждый метр длины. Для характеристики направления электрического тока проводимости в разных точках поверхности проводника и распределения силы тока по этой поверхности вводится плотность тока.Плотностью тока называют векторную физическую величину, совпадающую с направлением тока в рассматриваемой точке и численно равную отношению силы тока dI , проходящего через элементарную поверхность, перпендикулярной направлению тока, к площади этой поверхности:

Единица плотности тока – ампер на квадратный метр (А/м2 ). Плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с площадью поперечного сечения S сила тока равна

Если в цепи на носители тока действуют только силы электростатического поля, то происходит перемещение зарядов от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезновению тока. Поэтому для поддержания постоянного электрического тока в цепи необходимо наличие устройства, способного создавать и поддерживать разность потенциалов за счет работы некоторых сторонних сил. Такие устройства называют источниками тока . Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника электрической энергии против сил электростатического поля (против кулоновских сил, вызывающих соединение разноименных зарядов, а следовательно, выравнивание потенциалов и исчезновение тока), так что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциалов и в цепи протекает постоянный электрический ток. Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Физическая величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) источника: Единица ЭДС –вольт (В). Сторонняя сила, действующая на заряд , может быть выражена через напряженностьполя сторонних сил

Тогда работа сторонних сил по перемещению заряда на замкнутом участке цепи будет равна:

Разделив на и учитывая (получим выражение для ЭДС, действующей в цепи:

19.Последовательное и параллельное соединения вэлектротехнике- два основных способа соединения элементовэлектрической цепи. При последовательном соединении все элементы связаны друг с другом так, что включающий их участок цепи не имеет ни одногоузла. При параллельном соединении все входящие в цепь элементы объединены двумяузламии не имеют связей с другими узлами, если это не противоречит условию.

При последовательном соединении проводников сила тока во всех проводниках одинакова.

При параллельном соединении падение напряжения между двумя узлами, объединяющими элементы цепи, одинаково для всех элементов. При этом величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Последовательное соединение

При последовательном соединении проводников сила тока в любых частях цепи одна и та же:

Полное напряжение в цепи при последовательном соединении, или напряжение на полюсах источника тока, равно сумме напряжений на отдельных участках цепи:

Резисторы

Катушка индуктивности

Электрический конденсатор

.

Параллельное соединение

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных параллельно соединённых проводниках:

Напряжение на участках цепи АВ и на концах всех параллельно соединённых проводников одно и то же:

Резистор

При параллельном соединении резисторов складываются величины, обратно пропорциональные сопротивлению (то есть общая проводимость складывается из проводимостей каждого резистора)

Если цепь можно разбить на вложенные подблоки, последовательно или параллельно включённые между собой, то сначала считают сопротивление каждого подблока, потом заменяют каждый подблок его эквивалентным сопротивлением, таким образом находится общее(искомое) сопротивление.

Для двух параллельно соединённых резисторов их общее сопротивление равно: .

Если , то общее сопротивление равно:

При параллельном соединении резисторов их общее сопротивление будет меньше наименьшего из сопротивлений.

Катушка индуктивности

Электрический конденсатор

Закон Ома для участка цепи. Немецкий физик Георг Ом (1787-1854) в 1826 г. обнаружил, что отношение напряженияU между концами металлического проводника, являющегося участком электрической цепи, к силе токаI в цепи есть величина постоянная:

Эту величину R называютэлектрическим сопротивлением проводника. Единица электрического сопротивления в СИ -ом (Ом). Электрическим сопротивлением 1 Ом обладает такой участок цепи, на котором при силе тока 1 А напряжение равно 1 В:

Опыт показывает, что электрическое сопротивление проводника прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площадиS поперечного сечения:

Постоянный для данного вещества параметр называетсяудельным электрическим сопротивлением вещества. Экспериментально установленную зависимость силы токаI от напряженияU и электрического сопротивленияR участка цепи называютзаконом Ома для участка цепи:

Закон Джоуля-Ленца формула и формулировка

Так или иначе, оба ученых исследовали явление нагревания п роводников электрическим током, они установили опытным путём следующую закономерность: количество теплоты, которое выделяется в проводнике с током, прямо пропорционально сопротивлению проводника, квадрату силы тока и времени прохождения тока.

Позже дополнительные исследования выявили, что данное утверждение справедливо для всех проводников: жидких, твёрдых и даже газообразных. В связи с этим открытая закономерность стала законом.

Итак, рассмотрим сам закон Джоуля-Ленца и его формулу, которая выглядит так:

20. Электродвижущая сила (ЭДС) - скалярнаяфизическая величина , характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил висточниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равнаработе этих сил по перемещению единичного положительногозаряда вдоль контура.

ЭДС можно выразить через напряжённость электрического поля сторонних сил (). В замкнутом контуре () тогда ЭДС будет равна:

, где - элемент длины контура.

ЭДС так же, как и напряжение , измеряется в вольтах . Можно говорить об электродвижущей силе на любом участке цепи. Это удельная работа сторонних сил не во всем контуре, а только на данном участке. ЭДС гальванического элемента есть работа сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда внутри элемента от одного полюса к другому. Работа сторонних сил не может быть выражена через разность потенциалов, так как сторонние силы непотенциальны и их работа зависит от формы траектории. Так, например, работа сторонних сил при перемещении заряда между клеммами тока вне самого источника равна нулю.

Баланс мощностей Для любых замкнутых цепей сумма мощностей источников электрической энергии Р И, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии Р П. Мощность источников указывает на то, какое количество работы они могут выполнить в электрической цепи каждую секунду. Максимально допустимая мощность приемников это то, что в нормальных условиях может выдержать пассивный элемент. Если превысить допустимую мощность резисторов, обычно указываемую на корпусе, то он может перегреться, его проводящий слой разрушится, почернеет окраска корпуса и деталь выйдет из строя.

Мощность, отдаваемая источниками ЭДС, равна.

Общее количество теплоты, выделяемое током в цепи, не всегда совпадает с соответствующим джоулевым теплом. Так на месте контакта двух различных проводников, помимо джоулева тепла, выделяется также, так называемое тепло Пельтье, зависящее от сторонних ЭДС, определяемых в свою очередь химической природой проводников, их температурой и т.д. При наличии в проводнике градиента температур в нем выделяется еще и теплота Томсона. В большинстве практических случаев при небольших токах теплотой Пельтье и Томсона можно пренебрегать.

Пра́вилазна́ков (в оптике) - правила определения знаков величин и направлений, принятые при расчёте оптических систем, а также при изображении (и чтении) оптических схем.

При расчёте и анализе оптических систем, положительным направлением (прямым ходом луча) вдоль оптической оси считается направление света слева направо, преломляющие и отражающие поверхности и разделяющие их среды нумеруются по порядку их следования в направлении распространения света, а оптическую систему принято изображать так, чтобы её первая (входная) поверхность располагалась на рисунке (чертеже, схеме) слева.

К тому же, при расчёте принято придерживаться некоторых правил, которые, так же, отражаются на схемах, чертежах и рисунках:

угол луча с оптической осью считается положительным, если луч, пересекающий ось, идёт сверху вниз, и отрицательным, если снизу вверх;

линейные величины предмета и изображения, а также отрезки высот лучей считаются положительными, если они расположены над осью, и отрицательными, если под нею;

радиус кривизны поверхности считается положительным, если её центр находится справа от поверхности, и отрицательным - если слева от поверхности, то есть отсчёт производится от поверхности к центру;

величины толщин и воздушных промежутков между преломляющими поверхностями при движении света слева направо всегда считаются положительными;

углы между лучом и нормалью к поверхности в точках падения луча ε и ε" (углы падения и преломления) считаются положительными, если нормаль , чтобы совпасть с направлением луча, должна быть повёрнута по ходу часовой стрелки;

угол φ между нормалью и оптической осью считается положительным, если оптическая ось, чтобы совпасть с нормалью, должна быть повёрнута по ходу часовой стрелки;

при отражении на поверхности изменяется знак у показателя преломления n", угла отражения ε" и величины расстояния между отражающей поверхностью и следующей (при движении света справа налево);

фокусные расстояния считаются положительными по направлению света от главных плоскостей ;

при преломлении и отражении лучей на сферической поверхности за начало отсчёта отрезка принимается вершина поверхности (точка 0 ). Отрезки считаются положительными, если они откладываются вдоль оси справа от точки 0 по направлению распространения света, и отрицательными, когда откладываются слева от точки 0 . В случае отрицательных значений указанных величин перед ними ставится знак минус.

Одноимённые (соответственные) и сопряжённые точки, отрезки и углы в пространстве предметов и пространстве изображений обозначаются одинаковыми буквами. Исключение, здесь, делается для точек переднего F и заднего F" фокусов которые обозначаются одинаковой буквой хотя и не сопряжены друг с другом.

Обозначения относящиеся к пространству изображений, обозначаются знаком "штрих" сверху каждой буквы. Например, обозначение задней главной плоскости указывает, что данная плоскость принадлежит, именно, пространству изображений.

22.Правила Кирхгофа (часто, в литературе, называются не совсем корректноЗако́ныКирхго́фа ) - соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любойэлектрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного иквазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач втеории электрических цепейи практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получитьсистему линейных уравненийотносительно токов или напряжений, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения. СформулированыГуставом Кирхгофомв1845 году. Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами Природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (3-еуравнение Максвеллапри неизменном магнитном поле).

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Если на концах участка проводника имеется разность потенциалов , тогда работу по переносу заряда q на этом участке равна

По определению I= q/t. откуда q= I t.

Следовательно

Так как работа идет па нагревание проводника, то выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе электростатических сил

Закон Джоуля – Ленца в интегральной форме. (17.13)

Соотношение (17.13) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Введем плотность тепловой мощности , равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника

где S - поперечное сечение проводника, - его длина.

Используя (1.13) и соотношение , получим

Но - плотность тока, а , тогда

с учетом закона Ома в дифференциальной форме , окончательно получаем

Формула (17.14) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

14. Магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами. Взаимодействие параллельных бесконечных проводников с током, единица Ампер в СИ.

Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой. Например, два тонких прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи (прямые токи), притягивают друг друга, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкивают, если токи противоположны.

Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из параллельных проводников, пропорциональна величинам токов в них и и обратно пропорциональна расстоянию b между ними:

Коэффициент пропорциональности 2k. Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. На основании этого соотношения устанавливается единица силы тока в СИ и в абсолютной электромагнитной системе единиц (СГСМ- системе).

Единица силы тока в СИ - ампер - определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную

H на каждый метр длины. Единицу заряда, называемую кулоном, определяют как заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника, по которому течет постоянный ток силой 1 А. В соответствии с этим кулон называют также ампер-секундой (А с).

В системе единиц СИ это соотношение записывается следующим образом:

где - так магнитная постоянная.

Чтобы найти числовое значение воспользуемся

тем, что согласно определению ампера при

и b=1м сила F равна Н/м. Подставим эти значения в формулу получим Гн/м (Генри/метр)

- связь между электрической и магнитной постоянными, с – скорость света в вакууме =

м/с

Магнитное поле

Взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое магнитным. Это название происходит от того, что, как обнаружил в 1820 г. Эрстед, поле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. В опыте Эрстеда проволока, по которой тек ток, была натянута над магнитной стрелкой, вращающейся на игле. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную сторону. Из опыта Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной..

Эту величину принято обозначать буквой В. Логично было бы по аналогии с напряженностью электрического поля Е назвать В напряженностью магнитного поля. Однако по историческим причинам основную силовую характеристику магнитного поля назвали магнитной индукцией. Название же «напряженность магнитного поля» оказалось присвоенным вспомогательной величине Н, аналогичной вспомогательной характеристике D электрического поля. Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает действия на покоящийся заряд Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется.

Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в противоположную сторону (либо покоятся). Отсюда следует, что магнитное поле порождается движущимися зарядами. Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства - создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности:

.

Пространство изотропно, поэтому, если заряд неподвижен, все направления оказываются равноправными. Этим обусловлен тот факт, что создаваемое точечным зарядом электростатическое поле является сферически-симметричным. В случае движения заряда со скоростью v в пространстве появляется выделенное направление (направление вектора v).

Поэтому можно ожидать, что магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, обладает осевой симметрией.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое в некоторой точке Р точечным зарядом q, движущимся с постоянной скоростью v. Возмущения поля передаются от точки к точке с конечной скоростью с. Поэтому индукция В в точке Р в момент времени t определяется не положением заряда в тот же момент t, а положением заряда в некоторый более ранний момент времени

: .

Здесь Р означает совокупность координат точки Р, определяемых в некоторой неподвижной системе отсчета, r(t-т) - радиус-вектор, проведенный в точку Р из той точки, в которой находился заряд в момент времени . Если скорость движения заряда v много меньше с (v

Вид функции B может быть установлен только экспериментально.

Опыт дает, ято в случае, когда vи след. Формула индукции магнитного поля

Эта формула может быть получена только экспериментально. Из соотношения вытекает, что вектор В в каждой точке Р направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через направление вектора v и точку Р, причем так, что вращение в направлении В образует с направлением v правовинтовую систему

15. Вектор магнитной индукции, определение направления и величины. Силовые линии магнитного поля. Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность. Принцип суперпозиции.
МАГНИТНЫЕ СИЛЫ- это силы, с которыми проводники с током действуют друг на друга.

.МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Это силовая характеристика магнитного поля.

Вектор магнитной индукции направлен всегда так, как сориентирована свободно вращающаяся магнитная стрелка в магнитном поле.

Единица измерения магнитной индукции в системе СИ:

ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

- это линии, касательными к которой в любой её точке является вектор магнитной индукции.

Однородное магнитное поле - это магнитное поле, у которого в любой его точке вектор магнитной индукции неизменен по величине и направлению; наблюдается между пластинами плоского конденсатора, внутри соленоида (если его диаметр много меньше его длины) или внутри полосового магнита.

Магнитное поле прямого проводника с током:где - направление тока в проводнике на нас перпендикулярно плоскости листа,- направление тока в проводнике от нас перпендикулярно плоскости листа.

Магнитное поле соленоида:

Магнитное поле полосового магнита:

Аналогично магнитному полю соленоида.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

• 
  имеют направление;
• 
  непрерывны;
• 
  замкнуты (т.е. магнитное поле является вихревым);
• 
  не пересекаются;
• 
  по их густоте судят о величине магнитной индукции.

НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Определяется по правилу буравчика или по правилу правой руки.

Правило буравчика (в основном для прямого проводника с током):

Если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линий магнитного поля тока.

Правило правой руки (в основном для определения направления магнитных линий
внутри соленоида):

Если обхватить соленоид ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены вдоль тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление линий магнитного поля внутри соленоида.

В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.

Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

. Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что

.

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю.

Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю:

.

Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: поле В, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности: .

16. Закон Био - Савара- Лапласса. Магнитное поле, создаваемое круговым током, бесконечным прямолинейным проводником с током.

Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток. Рассмотрим малый элемент провода длины dl. В этом элементе содержится nS dl носителей тока (n - число носителей в единице объема, S - площадь попе- речного сечения провода в том месте, где взят элемент dl). В точке положение которой относительно элемента dl определяется радиусом-вектором г (отдельный носитель тока е создает поле с индукцией

.

Здесь v - скорость хаотического движения, а u - скорость упорядоченного движения носителя.

Значение магнитной индукции, усредненное по носителям тока, заключенным в элементе dl, равно

=

(=0). Умножив это выражение на число носителей в элементе провода (равное nS dl), получим вклад в поле, вносимый элементом dl: (мы внесли скалярные множители n и е

под знак векторного произведения).

Приняв во внимание, что ne=j, можно получить

Введем вектор , направленный по оси элемента тока длиной

в сторону, в которую течет ток. Модуль этого вектора равен dl. Поскольку направления векторов j и dl совпадают, имеет место равенство

Произведя такую замену в формуле для dB, получим

Учли, что произведение Sj дает силу тока I в проводе, придем к окончательному выражению, определяющему магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока длины dl:

Мы вывели формулу. В действительности последняя формула была установлена экспериментально.

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельным, элементарными участками токов.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу

, которая носит название закона Б ио - Савара - Лапласа или более кратко закона Б и о - Савара

.Из рис. 42.1видно, что вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта. Модуль dB определяется выражением

где?- угол между векторами dl и г. Применим формулу закона Б-С-Л для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 42.2 Сав 122). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода.

Из рис. 42.2 видно, что

Подставим эти значения в формулу

Угол? для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется от 0 до?.

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей

(рис. 42.3 Сав 122).

16. Магнитное поле кругового контура с током

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 47.1 Сав. 138).

Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение dВ сводится к сложению их модулей.

По формуле

(?=?/2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

Выражение в скобках равно модулю дипольного магнитного момента p m . Следовательно, магнитная индукция в центре кругового тока имеет величину

Из рис. 47.1 видно, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т. е. с направлением вектора p m . Поэтому последнюю формулу можно написать в векторном виде:

Теперь найдем В на оси кругового тока на расстоянии г от центра контура (рис. 47.2 Сав.138). Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле. Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 47.2, б, Cfd 138). Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор В направлен вдоль оси контура

. Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующие вектор вклад

, равный по модулю. Угол? между dl и b прямой, поэтому

Проинтегрировав по всему контуру и заменив b на

получим

Эта формула определяет величину магнитной индукции на оси кругового тока.

Приняв во внимание, что векторы В и p m имеют одинаковое направление, можно написать последнюю формулу в векторном виде:

.

Это выражение не зависит от знака г. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно центра тока, В имеет одинаковую величину и направление. При г=0 формула переходит, как и должно быть, в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока. На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R 2 по сравнению с г 2 . Тогда формула принимает вид

.

17. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции, ее применение для расчета маг нитного поля в бесконечном соленоиде.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие . Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что .

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю: .

Найдем циркуляции вектора В . По определению циркуляция равна интегралу

.

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. ; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции В dl через В dl B (dl B - проекция элемента контура на направление вектора В).
Из рисунка видно, что dl B равно b d?, где b - расстояние от провода с током до dl , d? - угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl . Таким образом, для В , получим

Окончательно будем иметь

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому

.

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 49.1 ,б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а затем в противоположном (участок 2-1), вследствие чего

равен нулю. Учтя этот результат, можно написать

, где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Знак в выражении зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол?).
Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина

положительна, в противном случае - отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным Поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят пример но так, как показано на рис. 50.1.

Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока j лин (равная отношению силы тока dI к элементу длины соленоида dl) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно

, где n- число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины I - сила тока в соленоиде.
В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра (отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока j лин постоянна по всей длине), обтекаемого током постоянной линейной плотности j лин =nI.

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи-«витки». Из.рис. видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при

противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему. Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 50.3; участок 4-1 идет по оси соленоида).

Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение (B 2 –B 1)?. Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что B 1 =B 2 . Располагая участок контура 2-3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция В2 на этом расстоянии равна индукции B 1 на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана. Теперь обратимся к контуру 1"-2"-3"-4". Мы изобразили векторы B` 1 и В` 2 штриховой линией, поскольку, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Контур 1"-2"-3"-4"не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В" по этому контуру, равная (B` 1 -В` 2)?, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что B ` 1 = В ` 2 . Расстояния от оси соленоида до участков /" - 4" и 2" - 3" были взяты произвольно. Следовательно, значение В" на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4 (Сав. 150), равна?(В+В") (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины j лин?.
Должно выполняться равенство (после сокращения на? и замены). Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным.

Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5 Сав 151). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки через внутреннюю часть S этой плоскости и через внешнюю часть S" должны быть одинаковыми. Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение BS=B"S". Левая часть этого равенства конечна, множитель S" в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что В"=0.

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив В"=0, придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида:

. Произведение nI называется числом ампер-витков на метр. При n = 1000 витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет 4?10 -4 Тл (Тесла) =4? Гс (Гаусса).

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения:

.

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула - для точек на оси вблизи его концов.

18. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле- сила Ампера. Поведение рамки с током в магнитном поле.

Если провод, по которому течет ток, находится в магнитном поле, на каждый из носителей тока действует сила

Здесь v - скорость хаотического движения носителя, u - скорость упорядоченного движения. От носителя тока действие этой силы передается проводнику, по которому он перемещается. В результате на провод с током, находящийся в магнитном поле, действует сила.

Найдем величину силы dF, действующей на элемент провода длины dl. Усредним выражение по носителям тока, содержа- щимся в элементе dl: , (В - магнитная индукция в том месте, где помещается элемент dl). В элементе провода содержится число носителей, равное nS dl (n- число носителей в единице объема, S - площадь поперечного сечения провода в этом месте).

Умножив полученное выражение на число носителей, найдем интересующую нас силу:

Приняв во внимание, что neu>есть плотность тока j a S dl дает объем элемента провода dV, можно написать

Отсюда можно получить выражение для плотности силы, т. е. для силы, действующей на единицу объема проводника:

Напишем формулу в виде

. Заменив S dl через j S dl=I dl , придем к формуле

-эта формула определяет силу, действующую на элемент тока dl в магнитном поле, была установлена экспериментально Ампером и носит название закона Ампера.
ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА РАМКУ С ТОКОМ

Однородное магнитное поле ориентирует рамку (т.е. создается вращающий момент и рамка поворачивается в положение, когда вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки).
Неоднородное магнитное поле ориентирует + притягивает или отталкивает рамку с током.

Так, в магнитном поле прямого проводника с током (оно неоднородно) рамка с током ориентируется вдоль радиуса магнитной линии и притягивается или отталкивается от прямого проводника с током в зависимости от направления токов.
19. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила определяется зарядом q, скоростью его движения v и магнитной индукцией В в той точке, где находится заряд в рассматриваемый момент времени. Простейшее предположение заключается в том, что модуль силы F пропорционален каждой из трех величин q, v и В. Кроме того, можно ожидать, что F зависит от взаимной ориентации векторов v и В. Направление вектора F должно определяться направлениями векторов v и В.

Опытным путем установлено, что сила F, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, определяется формулой

, где к - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц величин, входящих в формулу. Отметим, что соотношение эту формулу можно рассматривать как определение магнитной индукции В. Единица магнитной индукции В - тесла - определяется так, чтобы коэффициент пропорциональности к в формуле был равен единице. Следовательно, в СИ эта формула имеет вид

.
Модуль магнитной силы равен

где?- угол между векторами v и В Из последней формулы вытекает, что заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия магнитной сил Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и В. Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением вектора . В случае отрицательного q направления векторов F и противоположны (рис. 43.1 Сав. 124).

Поскольку магнитная сила всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, она не совершает работы над частицей.

Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна

. Это выражение было получено из опыта Лоренцем и носит название силы Лоренца или лоренцевой силы

20. Вещество в магнитном поле. Вектор наманниченности. Связь молекулярных токов с величиной вектора намагниченности. Магнитная проницаемость, восприимчивость.

Если несущие ток провода находятся в какой-либо среде, магнитное поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле В", которое накладывается на обусловленное токами поле В о. Оба поля в сумме дают результирующее поле

. Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний.

Под В подразумевается усредненное (макроскопическое) поле. Для объяснения намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего обусловленное ими результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю.

. Под действием поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается - его суммарный магнитный момент становится отличным от нуляМагнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле В". Намагничение магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью (вектор намагниченности) и обозначают буквой J . Если магнетик намагничен неоднородно, намагниченность в данной точке определяется следующим выражением:


где

- физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме . Поле В" , так же как и поле Во , не имеет источников. Поэтому дивергенция результирующего поля В равна нулю:

.

Можно найти такую вспомогательную величину, ротор которой определяется лишь плотностью макроскопических токов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, выразим плотность молекулярных токов

через намагниченность магнетика J .

С этой целью вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых некоторым контуром Г

, где S - поверхность, натянутая на контур. В алгебраическую сумму молекулярных токов входят только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур. Токи, не «нанизанные» на контур, либо не пересекают натянутую на контур поверхность совсем, либо пересекают эту поверхность дважды - один раз в одном направлении, второй раз в другом. В результате их вклад в алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, оказывается равным нулю.

Из рис. видно, что элемент контура dl, образующий с направлением намагниченностиJ угол?, нанизывает на себя те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом S мол cos ? dl(S мол - площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если n - число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементом dl, равен

I мол nS мол cos ? dl.

Произведение I мол S мол равно магнитному моменту р m отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение I мол nS мол представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора j , a I мол nS мол cos ? проекцию вектора j на направление элемента dl.

Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом dl, равен j dl, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром равна

. Преобразовав правую часть по теореме Стокса, получим

. Это равенство, к которому мы пришли, должно выполняться при произвольном выборе поверхности S. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения равны в каждой точке магнетика:

. (

- ротор).

Таким образом, плотность молекулярных токов определяется значением ротора намагниченности. В случае, когда =0, молекулярные токи отдельных молекул ориентированы так, что их сумма в среднем равна нулю.

Выражение

. Преобразовав это выражение получим

. След.

.Н -есть искомая нами вспомогательная величина, ротор которой определяется одними лишь макроскопическими токами. Эта величина называется напряженностью магнитного поля

.

Если макроскопические токи текут по проводам, охватываемым контуром, то - теорема о циркуляции вектора Н : циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам магнитные массы, и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве. В те времена и были введены названия: «магнитная индукция» для В и «напряженность поля» для Н.

Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в природе не существует и что величина, названная магнитной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности электрического поля Е (соответственно Н - аналогом не Е, a D).

Однако изменять уже установившуюся терминологию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электростатическое поле потенциально, магнитное - соленоидально *)) величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред). В вакууме J=0, поэтому Н превращается в В.

Напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В связи с этим единица напряженности магнитного

поля в СИ носит название ампер на метр (А/м).

Из этого определения следует, что в вакууме Н совпадает с В. В соответствии с этим единица Н в гауссовой системе, называемая эрстедом (Э), имеет ту же величину и размерность, что и единица магнитной индукции - гаусс (Гс). По существу эрстед и гаусс суть разные названия одной и той же единицы. Если этой единицей измеряют Н, ее называют эрстедом, если измеряют В, то - гауссом.

Намагниченность принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Полагают, что в каждой точке магнетика

, где?- характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, что для слабомагнитных (неферромагнитных) веществ при не слишком сильных полях? не зависит от Н . Размерность Н совпадает с размерностью J . Следовательно, ? - безразмерная величина.

. Безразмерная величина

М называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости? которая может иметь лишь положительные значения (поляризованность Р в изотропном диэлектрике всегда направлена по полю Е), магнитная восприимчивость? бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость и. может быть как больше, так и меньше единицы.

Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в

раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы Н и В, вообще говоря, не совпадают по направлению).

21. Пар-, ферро- диамагнетики. Постоянные магниты.

Формула определяет магнитную восприимчивость единицы объема вещества. Часто вместо этой восприимчивости пользуются отнесенной к одному молю вещества молярной (для химически простых веществ - атомной) восприимчивостью? м (? ат). Очевидно, что? м = ? V м, где V м - объем моля вещества. В то время как? - безразмерная величина, ? м измеряется в м 3 /моль.

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики подразделяются на три группы:

1. 
   диамагнетики, у которых |? м | отрицательна и мала по абсолютной величине (|? м | ~10 -11 - ~10 -10 м 3 /моль);
2. 
   парамагнетики, у которых тоже невелика, но положительна (? м ~10 -10 – 10 -9 м 3 /моль);
3. 
   ферромагнетики, у которых? м положительна и достигает очень больших значений (? м ~1 м 3 /моль). Кроме того, в отличие от диа и парамагнетиков, для которых? не зависит от Н , восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряженности магнитного поля.

Таким образом, в изотропных веществах намагниченность J может как совпадать по направлению с Н (у пара- и ферромагнетиков), так и быть направленной в противоположную сторону (у диамагнетиков).
Обычно ферромагнетик намагничен не однородно, а разбит на домены - области однородной спонтанной намагниченности, у которых величина намагниченности (магнитного момента единицы объема) одинакова, а направления различны

. Под действием внешнего магнитного поля число и размеры доменов, намагниченных по полю, увеличиваются за счёт др. доменов. Кроме того, магнитные моменты отдельных доменов могут поворачиваться по полю. В результате магнитный момент образца увеличивается.

На рис. 1 изображена зависимость магнитного момента М ферромагнитного образца от напряжённости Н внешнего магнитного поля (кривая намагничивания ). В достаточно сильном магнитном поле образец намагничивается до насыщения (при дальнейшем увеличении поля значение М практически не изменяется, точка А). При этом образец состоит из одного домена с магнитным моментом насыщения M s , направленным по полю. При уменьшении напряжённости внешнего магнитного поля Н магнитный момент образца М будет уменьшаться по кривой I преимущественно за счёт возникновения и роста доменов с магнитным моментом, направленным против поля. Рост доменов обусловлен движением доменных стенок.

Это движение затруднено из-за наличия в образце различных дефектов (примесей, неоднородностей и т.п.), которые закрепляют доменные стенки в некоторых положениях ; требуются достаточно сильные магнитные поля для того, чтобы их сдвинуть. Поэтому при уменьшении поля Н до нуля у образца сохраняется т. н. остаточный магнитный момент M r (точка В).Рис. 1. Петля магнитного гистерезиса для ферромагнетика: Н - напряжённость магнитного поля; М - магнитный момент образца; Н с - коэрцитивное поле; M r - остаточный магнитный момент; M s - магнитный момент насыщения. Пунктиром показана непредельная петля гистерезиса. Схематически приведена доменная структура образца для некоторых точек петли.

Образец полностью размагничивается лишь в достаточно сильном поле противоположного направления, называемом коэрцитивным полем (коэрцитивной силой ) Н с (точка С). При дальнейшем увеличении магнитного поля обратного направления образец вновь намагничивается вдоль поля до насыщения (точка D). Перемагничивание образца (из точки D в точку А) происходит по кривой II. Т. о., при циклическом изменении поля кривая, характеризующая изменение магнитного момента образца, образует петлю магнитного Гистерезис Если поле Н циклически изменять в таких пределах, что намагниченность насыщения не достигается, то получается непредельная петля магнитного Гистерезис (кривая III).

Уменьшая амплитуду изменения поля Н до нуля, можно образец полностью размагнитить (прийти в точку О). Намагничивание образца из точки О происходит по кривой IV. Индукция постоянного магнита B d не может превышать B r : равенство B d = B r возможно лишь в том случае, если магнит представляет собой замкнутый магнитопровод, то есть не имеет воздушного промежутка, однако постоянные магниты, как правило, используются для создания магнитного поля в воздушном (или заполненном другой средой) зазоре, в этом случае B d B r , величина разности зависит от формы магнита и свойств среды.

Для производства постоянных магнитов обычно используются следующие материалы:

Бариевые и стронциевые магнитотвердые ферриты

Имеют состав Ba/SrO·6 Fe 2 O 3 и характеризуются высокой устойчивостью к размагничиванию в сочетании с хорошей коррозионной стойкостью. Несмотря на низкие по сравнению с другими классами магнитные параметры и высокую хрупкость, благодаря низкой стоимости магнитотвердые ферриты наиболее широко применяются в промышленности.

Магниты NdFeB (неодим-железо-бор)

Редкоземельные магниты, изготавливаемые прессованием или литьем из интерметаллида Nd 2 Fe 14 B. Преимуществами этого класса магнитов являются высокие магнитные свойства (B r , H c и (BH) max), а также невысокая стоимость. В связи со слабой коррозионной устойчивостью обычно покрываются медью, никелем или цинком.

Редкоземельные магниты SmCo (Самарий-Кобальт)

Они используются в таких областях, как магнитно-резонансная томография , сервоприводы жёстких дисков и создание высококачественных динамиков

. 22. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца. Закон Фарадея.

В 1831 г. Фарадей обнаружил, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а возникающий ток индукционным. Явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции - ? i . Величина? i не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением dФ/dt. При изменении знака dФ/dt. направление? i также меняется.

Ленц установил правило, позволяющее найти направление индукционного тока. Правило Ленца гласит, что индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. Если, например, изменение Ф вызвано перемещением контура 2, то возникает индукционный ток такого направления, что сила взаимодействия с первым контуром противится движению контура. При приближении контура 2 к контуру 1

(см. рис. 60.1 Сав 181) возникает ток I 2 , магнитный момент которого направлен противоположно полю тока. Следовательно, на контур 2 будет действовать сила, отталкивающая его от контура При удалении контура 2 от контура 1 возникает ток I 2 так что сила, действующая на контур 2, направлена к контуру 1.

Пусть оба контура неподвижны и ток в контуре 2 индуцируется путем изменения тока I 1 в контуре 1. В этом случае возникает ток I 2 такого направления, что создаваемый им собственный магнитный поток стремится ослабить изменения внешнего потока, приведшие к появлению индукционного тока. При увеличении I 1 , т. е. возрастании внешнего магнитного потока, направленного вправо, возникает ток I 2 , создающий поток, направленный влево. При уменьшении I 1 возникает ток I 2 , собственный магнитный поток которого направлен так же, как и внешний поток, и, следовательно, стремится поддержать внешний поток неизменным.
Возьмем контур с подвижной перемычкой длины l (рис. 61.1, а, Сав 183).

Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке - электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать направленная вдоль перемычки магнитная сила.

Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля напряженности E =[vB ]. Это поле не электростатического происхождения.

Его циркуляция по контуру дает величину э. д. с, индуцируемой в контуре:

(подынтегральная функция отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке 1-2). Чтобы по знаку? i можно было судить о направлении, в котором действует э. д. с, будем считать? i положительной в том случае, когда ее направление образует с направлением нормали к контуру правовинтовую систему.

Выберем нормаль так, как показано на рис. 61.1.

Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов dl .

, где 1 - вектор, показанный на рис. 61.1, б.

Осуществим в полученном выражении циклическую перестановку сомножителей, после чего умножим и разделим его на dt

Т. к.

, где dS - приращение площади контура за время dt. По определению потока выражение В dS=Bn dS представляет собой поток через площадку dS, т. е. приращение потока через контур. Таким образом, .

Закон Фарадея можно сформулировать таким образом: э.д.с. электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Этот закон является универсальным: э.д.с. не зависит от способа изменения магнитного потока. Э.д.с. электромагнитной индукции выражается в вольтах. Действительно, учитывая, что единицей магнитного потока является вебер (Вб), получим

Мы получили, что эдс индукции и фоток имеют противоположные знаки. Единицей потока магнитной индукции в СИ служит в е б е р (Вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м 2 , пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В , равной 1 Тл. При скорости изменения потока, равной 1 Вб/с, в кон-туре индуцируется э. д. с, равная 1 В. В гауссовой системе формула имеет вид

.

23. Явление самоиндкуции. Индуктивность проводников. Индуктивность соленоида - пустого и заполненного веществом.

Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток

. При изменениях I изменяется также и, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био - Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I и создаваемый им магнитный поток через контур пропорциональны друг другу

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Линейная зависимость от I наблюдается только в том случае, если магнитная проницаемость µ среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля Н, т. е. в отсутствие ферромагнетиков. При неизменной силе тока I полный поток W может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.

Cлед. индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров), а также от магнитных свойств (µ) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А возникает сцепленный с ним полный поток, равный 1 Вб. Эту единицу называют генри (Гн).

В гауссовой системе индуктивность имеет размерность длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в этой системе называют сантиметром.

Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным.

При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого равна

(в вакууме).

Поток через каждый из витков равен Ф=BS , а

полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом,

где l - длина соленоида (которая предполагается очень большой), S - площадь поперечного сечения, n - число витков на единицу длины (произведение nl дает полное число витков N). Сопоставление формул и дает для индуктивности очень длинного соленоида выражение

в вакууме, где V=lS - объем соленоида.

Есди соленоид заполнен веществом с магнитной проницаемостью µ, то при заданном токе I магнитная индукция возрастает в µ раз, и след. индуктивность длинного соленоида, заполненного веществом

.

При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. Самоиндукции? s ., равна

Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э. д. с. самоиндукции имеет вид

. Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток бывает направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

24. Энергия магнитного поля в соленоиде. Плотность энергии магнитного поля.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 67.1 (Сав. 195). При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна

.

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то

=L dI и выражение

Проинтегрировав это выражение по l в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение- которого происходит исчезновение магнитного поля,

. Работа идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, ос-

тается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа.

Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией

,

которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.

Выразим энергию магнитного поля через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида

. Подставив эти значения L и I в выражение и произведя преобразования, получим

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V. Произведя это деление, получим

Плотность энергии магнитного поля можно записать в виде

.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл

.

25 Квазистационарный переменный электрический ток. Условие квазистационарности. Закон Ома для цепей квазистационарных токов. Активное и реактивное (емкостное, индуцированное) сопротивления, их зависимость от частоты тока.

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени? распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой.

Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c , то

где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время? много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях называются квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Из-за огромного значения скорости света время установления электрического равновесия в цепи оказывается весьма малым. Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC- и RL-цепях при подключении и отключении источника постоянного тока.

При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися со временем. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид

, где Т - период изменений.

Квазистационарный ток - относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов (прямая пропорциональность между током и напряжением.

Подобно постоянным токам, К. т. имеет одинаковую силу тока во всех сечениях неразветвлённой цепи

. Однако при расчёте К. т. (в отличие от расчёта цепей постоянного тока) необходимо учитывать возникающую при изменениях тока эдс индукции. Индуктивности, ёмкости, сопротивления ветвей цепи К. т. могут считаться сосредоточенными параметрами.

Соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности:

(*)

.

Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего один из элементов R, L и C.

Физические величины R, и?L называются активным сопротивлением резистора, емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки.

26. Электрический колебательный контур. Частота собственных колебаний тока в контуре. Добротность колебательного контура.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 5.2.1).

Рисунок 5.2.1.

Последовательный RLC-контур.

.

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может

Иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

Где

– напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора,

– ток в цепи

В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):

(*)

Здесь принято обозначение:

Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. Оно в точности совпадает по виду с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения.

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q 0 и начальная фаза? 0 определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 5.2.1) после переброса ключа K в положение 2, q 0 = C?, ? 0 = 0.
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 5.2.3).

Рисунок 5.2.3.

Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F тр = – ??. Коэффициент? в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

которая содержит множитель exp (–?t), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени

в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ? 2,7 раза, называется временем затухания.
Добротности Q колебательной системы:

Где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания?. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота? свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты? 0 идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ? (5 – 10) этим различием можно пренебречь

27. Вынужденные колебания тока в LCR контуре, уравнение их описывающее. Явление электрического резонанса.

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой?, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте? 0 .

Если частота? 0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте? внешнего источника.

Для установления стационарных вынужденных колебаний необходимо некоторое время?t после включения в цепь внешнего источника. Это время по порядку величины равно времени? затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 5.3.1): e(t) = 0 cos ?t, где 0 – амплитуда, ? – круговая частота.

Вынужденные колебания в контуре.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 5.3.1, выполнено условие квазистационарности . Поэтому закон Ома можно записать для мгновенных значений токов и напряжений:

или
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты? внешнего источника с собственной частотой? 0 электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе

При последовательном резонансе (? = ? 0) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

Добротность RLC-контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

28. Электромангитное поле. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме как обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея.

Электромагнитное поле – это неразрывно связанные между собой и порождающие друг друга переменные электрическое и магнитное поля.

Впервые понятие “электромагнитное поле ” было введено и математически строго описано Джеймсом Клерком Максвеллом. Уравнения Максвелла были опубликованы им в 1873 году в книге “Трактат об электричестве и магнетизме”, т.е. почти 130 лет тому назад.

Громоздкий механистический вывод отдельных уравнений был опубликован в его более ранних статьях. В “Трактате” же Максвелл их вывел с помощью аппарата векторного анализа, показав, что переменные электрическое и магнитное поля находятся в неразрывной взаимосвязи, совокупность которых представляет собой единое электромагнитное поле. Основными векторами, характеризующими электромагнитное поле, являются индукция B и напряженность H магнитного поля, смещение D и напряженность E электрического поля и плотность электрического тока J . В указанных современных обозначениях система уравнений Максвелла, заключающая в себе теорию электромагнитного поля, записывается следующим образом.

В 60-х годах XIX в. английский ученый Дж. Максвелл (1831-1879) обобщил экспериментально установленные законы электрического и магнитного полей и создал законченную единую теорию электромагнитного поля . Она позволяет решить основную задачу электродинамики : найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, всякое изменение магнитного поля во времени

приводит к возникновению ЭДС индукции и появлению индукционного тока в проводниках, находящихся в этом магнитном поле.
Многочисленные опыты показали, что ЭДС совершенно не зависит от проводника, его свойств (однородности, сопротивления). Опыт показывает, что в случае электромагнитной индукции сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силой Лоренца, так как она на неподвижные заряды не действует. Следовательно, поле сторонних сил создается в самом пространстве, где происходит изменение магнитного поля и присутствие замкнутого проводника вовсе не обязательно: контур, в котором наводится ЭДС индукции, является лишь своего рода индикатором, обнаруживающим это поле.

Максвелл выдвинул гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле , циркуляция которого и является причиной возникновения ЭДС электромагнитной индукции в контуре :

(5.1)

Уравнение (5.1) называют первым уравнением Максвелла . Смысл его заключается в том, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое, а последнее в свою очередь вызывает в окружающем диэлектрике или вакууме изменяющееся магнитное поле.

Поскольку магнитное поле создается электрическим током, то, согласно Максвеллу, вихревое электрическое поле следует рассматривать как некоторый ток, который протекает как в диэлектрике, так и в вакууме. Максвелл назвал этот ток током смещения . Механизм тока смещения будет рассмотрен ниже.

Можно показать, что циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура не равна нулю и след. электрическое поле, возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым .

Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах

Теперь подробнее обсудим величину DU (которая представляет в расчетах изменение внутренней энергии) применительно к проводнику, по которому начинает течь ток.

Постепенно, выбранный проводник будет нагреваться, а это значит, что будет увеличиваться его внутренняя энергия. По мере нагрева разность между температурой проводника и окружающей его среды будет увеличиваться. Согласно закономерности Ньютона, вместе с этим возрастать будет и мощность теплоотдачи проводника. Таким образом, через какое-то время температура проводника, достигнув определенного значения, перестанет увеличиваться. В этот момент величина DU будет равной нулю, и перестанет изменяться внутренняя энергия проводника.

Тогда для этого состояния первый закон термодинамики будет выглядеть так: A = – Q . То есть когда не меняется внутренняя энергия проводника, работа тока целиком превращается в теплоту. Используя этот вывод, можем записать все три рассмотренные формулы для расчета работы тока в несколько ином виде, в конечном итоге получаем закон Джоуля-Ленца в интегральной форме:

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме выглядит совершенно по-иному, мы рассмотрим только общий вариант, без дополнительных выведений и вычислений, который выглядит так:

Где:

· - является мощностью тепла, выделяемого в единице объёма;

· - плотность электрического тока;

· - это напряжённость электрического поля;

· - проводимость выбранной среды.

Так в общих чертах выглядит закон Джоуля-Ленца и его интегральная и дифференциальная формы. Хотя, если проводить дальнейшие вычисления, то закон может принимать и другие формы.

21. Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома). Закон Ома для замкнутой цепи.

Участок цепи, содержащий источник ЭДС, называется неоднородным (рис.5.11). Всякий источник ЭДС характеризуется величиной ЭДС ε ивнутренним сопротивлением r .

Напряжение на концах участка цепи.

Рис.5.11 . Неоднородный участок цепи.

Закон Ома длянеоднородного участка цепи имеет вид:

При соединении концов неоднородного участка цепи идеальным проводником образуется замкнутая цепь, в которой потенциалы φ 1 иφ 2 выравниваются и мы приходим к закону Ома для замкнутой (илиполной )цепи :

Если сопротивление внешней цепи , то имеем случай короткого замыкания . В этом случае в цепи течетмаксимальный ток:

При имеем разомкнутую цепь . В этом случае ток в цепи равен нулю :

22. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей постоянного тока

Правило 1 : в любом узле сумма входящих токов и выходящих равна нулю. Оно учитывает закон сохранения электрического заряда.

При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков.

Правило 2 : алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления при обходе контура равна сумме ЭДС в контуре. Учитывается закон сохранения энергии.

Для упрощения расчетов сложных электрических цепей, содержащих неоднородные участки, используются правила Кирхгофа , которые являются обобщением закона Ома на случай разветвленных цепей.

В разветвленных цепях можно выделить узловые точки (узлы ), в которых сходятся не менее трех проводников (рис. 1.10.1). Токи, втекающие в узел, принято считать положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

В узлах цепи постоянного тока не может происходить накопление зарядов. Отсюда следует первое правило Кирхгофа :

Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю:

I 1 + I 2 + I 3 + ... + I n = 0.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

В разветвленной цепи всегда можно выделить некоторое количество замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков. Такие замкнутые пути называются контурами . На разных участках выделенного контура могут протекать различные токи. На рис. 1.10.2 представлен простой пример разветвленной цепи. Цепь содержит два узла a и d , в которых сходятся одинаковые токи; поэтому только один из узлов является независимым (a или d ).

В цепи можно выделить три контура abcd , adef и abcdef . Из них только два являются независимыми (например, abcd и adef ), так как третий не содержит никаких новых участков.

Второе правило Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома.

Запишем обобщенный закон Ома для участков, составляющих один из контуров цепи, изображенной на рис. 1.10.2, например, abcd . Для этого на каждом участке нужно задать положительное направление тока и положительное направление обхода контура . При записи обобщенного закона Ома для каждого из участков необходимо соблюдать определенные «правила знаков», которые поясняются на рис. 1.10.3.

Для участков контура abcd обобщенный закон Ома записывается в виде:

Для участка bc : I 1 R 1 = Δφ bc – 1 .

Для участка da : I 2 R 2 = Δφ da – 2 .

Складывая левые и правые части этих равенств и принимая во внимание, что Δφ bc = – Δφ da , получим:

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвленной цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов в электрической цепи. Для цепи, изображенной на рис. 1.10.2, система уравнений для определения трех неизвестных токов I 1 , I 2 и I 3 имеет вид:

I 1 R 1 + I 2 R 2 = – 1 – 2 ,

– I 2 R 2 + I 3 R 3 = 2 + 3 ,

– I 1 + I 2 + I 3 = 0

23. Работа и мощность постоянного электрического тока. КПД источника тока.

Работа А электрического тока на участке цепи с электрическим сопротивлением R за время D t равна:

A = I · U · ? t = I 2 · R · ? t

Мощность P электрического тока равна отношению работы А тока ко времени D t, за которое эта работа совершена:

P = A / ? t = I · U = I 2 R = U 2 / R.

Работа А электрического тока равна количеству теплоты Q, выделяемому проводником (если не совершается механическая работа и не происходят химические реакции):

Q = I 2 · R · ? t

Этот закон был экспериментально установлен английским ученым Джеймсом Джоулем (1818-1889) и русским ученым Эмилием Ленцем (1804-1865) и поэтому носит название закона Джоуля - Ленца .

Рассмотрим элементарную электрическую цепь, содержащую источник ЭДС с внутренним сопротивлением r , и внешним сопротивлением R (рис. 7.5).

КПД всегда определяем как отношение полезной работы к затраченной:

(7.8.1)

Полезная работа – мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении R в единицу времени. По закону Ома имеем: а тогда

.

24. Вывод закона Ома из классической теории электропроводимости металлов.

Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

(18.2)

где t - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости . В этом приближении , где - среднее значение длины свободного пробега, - скорость теплового движения электронов. Подставим это значение t в формулу (18.2)

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

Подставив это выражение в

Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы получили закон Ома. Согласно коэффициент пропорциональности между j и Е представляет собой проводимость

(18.3)

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами.

25. Вывод закона Джоуля-Ленца из классической теории электропроводности металлов. Затруднения этой теории.

К концу свободного пробега электрон приобретает скорость , и, следовательно, дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой

Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, и передает энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/t соударений, сообщая всякий раз решетке энергию . Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделяться тепло

где n - число электронов проводимости в единице объема. Величина есть не что иное, как удельная мощность тока. Множитель при совпадает со значением (18.3) для закона Ома. Таким образом. Мы пришли к выражению закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемко­сти электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость ди­электриков, у которых нет свободных элек­тронов. Согласно закону Дюлонга и Пти (см. §73), теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R .Учтем, что теплоем­кость одноатомного электронного газа равна 3 / 2 R . Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R . Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электрон­ной теорией.

Указанные расхождения теории с опы­том можно объяснить тем, что движение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а зако­нам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводимости надо описывать не статистикой Максвелла - Больцмана, а квантовой статистикой. По­этому объяснить затруднения элементар­ной классической теории электропровод­ности металлов можно лишь квантовой тео­рией, которая будет рассмотрена в даль­нейшем. Надо, однако, отметить, что клас­сическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводи­мости и высокой температуре) она дает правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой тео­рией простой и наглядной.

26. Несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды.