Почему линии магнитной индукции замкнуты. Линии магнитной индукции

Cтраница 2

Линии магнитной индукции всегда являются замкнутыми: они нигде не начинаются и не кончаются. Это означает, что не существует магнитных зарядов, подобных электрическим зарядам, на которых начинаются или кончаются линии электрической индукции. В этом смысле говорят, что не существует свободного магнетизма. Если мы выделим в пол-е какой-либо объем (все равно - большой или бесконечно малый), то в этом объеме всегда будет иметься равное количество положительных и отрицательных магнитных полюсов, так что их алгебраическая сумма будет равна нулю. Ту же самую мысль можно высказать так: алгебраическая плотность магнетизма в любой точке поля равна нулю. В каком бы участке поля мы ни выделили объем dv (хотя бы и внутри магнита), через поверхность, ограничивающую этот объем, будет выходить наружу всегда такое же число линий магнитной индукции, какое входит внутрь, так как они только пересекают этот объем, но не начинаются и не кончаются в нем.  

Линии магнитной индукции всегда непрерывны и образуют замкнутые петли; они нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Уравнение (2.3) называется уравнением непрерывности.  

Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости вращения.  

Линии магнитной индукции проводятся с произвольной плотностью. Обычно считается, что модуль вектора индукции магнитного поля пропорционален числу линий магнитной индукции, проведенных через единичную площадку поверхности, перпендикулярной к этим линиям.  

Линии магнитной индукции этого поля, замыкающиеся через сердечники и зазор между ними, на рис. 4 - 2, а не показаны.  

Линии магнитной индукции или, короче, магнитные линии применяются для изображения магнитного поля. Линии магнитной индукции проводят так, чтобы вектор магнитной индукции в каждой точке был направлен по касательной к линии в этой точке. Линии магнитной индукции всегда замкнуты. На рис. 5 - 3 показаны замкнутые линии магнитной индукции вокруг прямо-линейного провода с током. В этом случае каждая линия имеет форму окружности, центр которой лежит на оси провода.  

Линии магнитной индукции этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его оси. На рисунке они изображены черными штриховыми линиями. Найдем циркуляцию вектора В вдоль произвольно.  

Линии магнитной индукции проще всего наблюдать с помощью мелких игольчатых железных опилок, которые намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам. Картины плоских сечений простейших магнитных полей (рис. 14.4) известны из курса физики средней школы.  

Линии магнитной индукции этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его оси На рис. 16.1 эти линии изображены пунктиром.  

Линии магнитной индукции этого ноля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его осн. На рисунке они изображены черными штриховыми линиями.  

Линии магнитной индукции всюду непрерывны. Поэтому линия магнитной индукции может войти внутрь контура индуктированного тока или выйти из него, только пересекая где-либо контур.  

Линии магнитной индукции в кольце из любого материала при равномерном распределении витков представляют собой концентрические окружности.  

15. Поток магнитной индукции. Теорема о циркуляции

магнитной индукции

Сначала рассмотрим магнитное поле, созданное одиночным проводником с током. Линии магнитной индукции поля такого проводника представляют собой окружности, центры которых расположены на проводнике. На рис. 5.11 одна из них показана штриховой линией, а сам проводник с током перпендикулярен плоскости рисунка. Модуль магнитной индукции в каждой точке окружности радиуса r определяется по (5.12):

. Направлениепри выбранном направлении тока в проводнике указано на рис. 5.11 в соответствии с правилом буравчика. Выберем нарисованную окружность радиусаr в качестве произвольного контура для расчета циркуляции магнитной индукции, причем направление обхода контура согласуем с направлением линии магнитной индукции по правилу правого винта. Тогда элемент окружности – вектор – совпадает в каждой точке по направлению с вектором. Тогда

где

– угол, под которым элементвиден из центра окружности. Циркуляцияпо всему замкнутому контуру будет определяться так:

. (5.21)

Таким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Если в качестве замкнутого контура интегрирования выбрана не окружность, совпадающая с линией магнитной индукции, а произвольная кривая (рис. 5.12), то

.

Таким образом, все равно циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру отлична от нуля:

.

Отметим, что в случаях, изображенных на рис.5.11 и 5.12, контуры интегрирования “охватывали” проводник с током, т.е. проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L . Такой проводник (или ток) называют проводником (током ), сцепленным с контуром . Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток. В этом случае (рис.5.13) весь контур L разбивается на две части и.На части контураугол между векторамииострый (

), а на части контураугол между векторамиитупой (

). Тогда

Итак, если ток не сцеплен с контуром интегрирования, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то применим принцип суперпозиции магнитных полей. Однако необходимо учитывать согласование направления обхода контура интегрирования и направления токов. В примере, изображенном на рис. 5.14, мы получим

,

,

,

,

,

где – магнитная индукция поля, созданного проводником с током силой. Тогда

. (5.23)

Объединяя все выводы (5.21)–(5.23) в один, можно сформулировать общее правило: циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром, причем направление обхода контура и направление тока связаны правилом буравчика . Этот вывод называется теоремой о циркуляции магнитной индукции :

.

(5.24)

Еще раз подчеркнем, что, поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному зам

кнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные “магнитные заряды”, создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Очень часто теорему о циркуляции магнитной индукции называют законом полного тока , поскольку в правой части выражения (5.24) записана алгебраическая сумма токов (полный ток), сцепленных с контуром L . Рассмотрим применение закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Оно особенно удобно для расчета магнитных полей симметричных систем токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля вдоль него легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1. Исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве необходимо построить линии магнитной индукции поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

2. Выбрать “удобный” замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

а) он должен проходить через исследуемую точку;

б) длина контура должна быть известна;

в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

г) угол между и касательной к контуру должен быть известен в любой точке контура (это обеспечивается выполнением п. 1).

3. Определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру. Если выполнено условие п.2в, то

где – постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контура.

4. Определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром L .

5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.

Пример . Определим магнитную индукцию поля бесконечно длинного соленоида . Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими друг к другу витками (рис.5.15), причем длина катушки существенно больше ее диаметра. В этом случае суперпозиция полей каждого витка (см. рис. 5.8) приводит к образованию внутри соленоида однородного магнитного поля, кривизной линий индукции которого вблизи центра соленоида можно пренебречь. Линии магнитной индукции такого поля параллельны друг другу, а модуль индукции одинаков во всех точках вблизи центра соленоида. Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, направление обхода которого указано на рис. 5.16. Короткая сторона контура параллельна оси системы, длина ее равна . Длинная сторона контура имеет длину. Поскольку соленоид бесконечно длинный, линии магнитной индукции вне соленоида, замыкаясь сами на себя, остаются параллельными его оси, а поэтому циркуляциявдоль боковых сторон контураL равна нулю:

.

Если

, то модуль магнитной индукции в точках дальней от соленоида стороны контура стремится к нулю, поэтому

. (5.25)

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L , определится числом витков соленоида, расположенных на длине отрезка :

. (5.26)

Применим закон полного тока, приравняв выражения (5.25) и (5.26) с учетом коэффициента:

.

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида (на его оси) выражается так:

. (5.27)

Модуль на краю бесконечно длинного соленоида (на его оси) можно найти следующим образом. Поскольку любой бесконечно длинный соленоид можно представить в виде последовательно соединенных двух бесконечно длинных соленоидов (рис. 5.17), то

, где

. Тогда

. (5.28)

16. Движение зарядов в магнитном и электрическом полях.

Эффект Холла

Экспериментально обнаружен факт, что магнитное поле действует на движущиеся в нем частицы, имеющие электрические заряд (см. п.5.1). В соответствии с (5.1), магнитная индукция численно равна максимальной силе, действующей со стороны магнитного поля на заряженную частицу, движущуюся в поле с единичной скоростью, отнесенной к величине заряда частицы. Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью (рис.5.18), то действующая со стороны поля силаоказывается перпендикулярной и скорости частицы, и магнитной индукции. Направление векторатаково, что выполняется соотношение

(5.29)

Таким образом,

при

и

при

. Оба этих случая изображены на рис. 5.18. Поскольку сила, действующая на частицу, перпендикулярна ее скорости, то ускорение, сообщаемое этой силой, тоже перпендикулярно скорости частицы, т.е. оно являетсянормальным ускорением . Следовательно, прямолинейная траектория полета частицы будет искривляться при ее попадании в магнитное поле.

Так как

, то

при

, т.е.магнитное поле не действует на электрически заряженную частицу, влетающую в поле вдоль линий магнитной индукции .

Если же частица влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то из (5.29) следует, что

. Тогда можно записать второй закон Ньютона:

, или

,

где m – масса частицы, а R – радиус кривизны траектории. Получаем, что в однородном поле (

) частица будет двигаться по окружности радиуса

. (5.30)

Период обращения частицы по этой окружности не зависит от скорости частицы. Действительно,

.

Следует отметить, что при любом попадании частицы в магнитное поле, частица не будет менять свою кинетическую энергию. Т.к.

, то сила перпендикулярна перемещению частицы в любой точке траектории, а, следовательно,сила со стороны магнитного поля не совершает работы по перемещению свободно двигающейся частицы .

Направление силы , согласно (5.29), можно определить поправилу “левой руки” : если расположить ладонь левой руки так, чтобы четыре пальца показывали направление скорости частицы, а линии магнитной индукции входили в раскрытую ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на положительно заряженную частицу . Если заряд частицы отрицателен, то направление силы будет противоположным.

Если же заряженная частица попадает в область совместного действия электрического и магнитного полей, то, в соответствии с (1.5) и (5.29), на нее действует сила

. (5.31)

Сила, определяемая соотношением (5.31), называется силой Лоренца (в честь голландского физика Х.-А. Лоренца, получившего в 1902 г. Нобелевскую премию за описание поведения заряженных частиц в электромагнитном поле). Первое слагаемое (5.31) определяет электрическую компоненту силы Лоренца, а второе – магнитную.

Рассмотрим некоторые примеры практического использования воздействия магнитного и электрического полей на заряженные частицы. На рис. 5.19 показана схема работы селектора частиц, т.е. устройства, разделяющего пучок частиц по их скоростям или энергиям. В таком устройстве существует область, в которой созданы однородные электрическое и магнитное поля. Векторы напряженности и индукции этих полей взаимно перпендикулярны. На рисунке вектор магнитной индукции направлен “на нас”, а вектор напряженности электрического поля вправо. Пусть в селектор влетает пучок одинаковых положительно заряженных частиц, имеющих разные скорости. Тогда, если частицы движутся так, что

и

, то электрическая и магнитная компоненты силы Лоренца направлены в противоположные стороны. При определенном значении модуля скорости эти компоненты равны:

, т.е.

.

Это означает, что все частицы пучка, модули скоростей которых равны , пролетят селектор, в соответствии с первым законом Ньютона, не отклоняясь от своего первоначального направления. Частицы пучка, модули скоростей которых больше, чем, отклонятся влево. Для них

, т.е. магнитная компонента силы Лоренца превосходит электрическую. Остальные частицы отклонятся вправо, т.к. для них

. Таким образом, на выходе из селектора будет полученмоноэнергетический пучок частиц, т.е. пучок частиц, обладающих одинаковой кинетической энергией.

Если пучок образован частицами разных масс, то дальнейшее воздействие магнитного поля на него способно разделить частицы по массе. На этом основано действие масс-спектрометра (рис.5.20). Пусть пучок частиц, прошедших селектор, попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна скорости частиц. Тогда частицы пучка, масса которых равна , будут, согласно (5.30), в дальнейшем двигаться по окружности радиусом

. Соответственно, чем большеудельный заряд частицы (отношение ее заряда к массе), тем меньше радиус траектории ее движения. Экспериментально выяснено, что в природе нет различных элементарных частиц с одинаковым удельным зарядом. Таким образом, масс-спектрометр позволяет установить состав исследуемого пучка частиц.

Воздействие магнитного поля на пучки движущихся частиц приводит иногда к неожиданным экспериментальным результатам. В 1879 г. американский физик Э.Г. Холл обнаружил эффект, названный впоследствии его именем.Эффект Холла заключается в возникновении в проводнике с током, помещен-ном в магнитное поле, разности потенциалов в направлении, перпендикулярном плотности тока и магнитной индукции.

Р

ассмотрим фрагмент плоского металлического проводника толщинойb , в котором электрическим полем с напряженностью создан электрический ток плотностью(рис. 5.21,а ). В отсутствие магнитного поля свободные электроны металла упорядоченно движутся со скоростью , направленной противоположно вектору. Если проводник поместить в магнитное поле так, что

, то на электроны будет действовать магнитная компонента силы Лоренца, направление которой показано на рисунке. Ее действие приведет к поперечному смещению электронов, в результате чего между верхней и нижней поверхностями проводника появится электрическое поле разделенных зарядов. Если проводник достаточно тонкий, то напряженность этого поляможно считать постоянной. Процесс смещения электронов прекратится, когда скомпенсируются силы, действующие на них со стороны магнитного и электрического полей:

. В проводнике установится суммарное электрическое поле с напряженностью

(рис.5.21,б ). Изменение направления суммарного электрического поля в проводнике приведет к изменению положения эквипотенциальных плоскостей, т.к. они должны быть перпендикулярны . Раньше такая плоскость проходила через точкиM и N проводника (рис.5.21, в ). Теперь она пройдет через точки

иN . Поэтому между точками M и N возникнет разность потенциалов. Для однородного электрического поля будет справедливо (см.(1.19)) соотношение

. Поскольку

, гдеп – концентрация свободных электронов в металле, то

.

Полученное выражение называется “холловской разностью потенциалов ”, ее экспериментальное измерение при заданных размерах проводника и силе тока в нем позволяет определить магнитную индукцию поля, в которое помещен холловский датчик . Это – один из основных методов измерения магнитной индукции постоянных магнитных полей.

Магнитное поле является силовым. Это означает, что магнитное поле векторное, и в его каждой точке на пробную частицу (в магнитном поле в качестве пробной частицы выступает пробный контур с током или магнитная стрелка) действует вектор силы. Следовательно, как и электрическое поле, магнитное поле можно изображать при помощи линий поля, которые называют линиями магнитной индукции. Все касательные к линиям магнитной индукции в каждой точке совпадают с направлением вектора индукции (). Через каждую точку магнитного поля можно провести линию магнитной индукции.

Так как вектор магнитной индукции в любой точке поля обладает определенным направлением, то и направление линии магнитной индукции является единственным. Это означает, что линии магнитной индукции не пересекаются. Направление линий магнитной индукции определено правилом правого винта. Которое говорит о том, что головка винта, который поворачивают по направлению тока, движется по направлению линии магнитной индукции.

Изображение линий магнитной индукции

Линии магнитной индукции изображают с такой плотностью, чтобы их количество (на единицу перпендикулярной им поверхности) было пропорционально величине магнитной индукции в рассматриваемой точке поля. Следовательно, изучая линии индукции, имеется возможность наглядного представления изменения магнитной индукции поля в пространстве (по величине и направлению).

Линии магнитной индукции можно увидеть, если провести эксперимент с железными опилками, которые намагничивают в рассматриваемом магнитном поле. Эти опилки ведут себя как малые магнитные стрелки. При реализации подобного эксперимента проводник с током пропускают через горизонтальную стеклянную пластинку (или лист картона), на нее насыпают некоторое количество опилок из железа. При встряхивании пластинки опилки выстраиваются в цепочки, форма которых соответствует линиям магнитного поля.

Линии магнитной индукции всегда являются замкнутыми (или уходят в бесконечность), не имеют начала и конца. Это имеет место для любого магнитного поля, порождаемого любым током. Векторные поля, которые имеют непрерывные линии, называют вихревыми. Магнитное поле является вихревым.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Изобразите линии магнитной индукции полосового магнита. В чем различие между линиями магнитной индукции магнитного поля и линиями напряженности электростатического поля?

Решение

На рис.1 (а) изображены линии магнитной индукции постоянного магнита. Они исходят из северного полюса магнита (N) и входят в южный полюс (S). Кажется, что мы имеем полную аналогию с линиями напряженности электростатического поля (рис.1 (б)), где роль магнитных зарядов играют полюса магнитов. Однако если разрезать магнит на части, его полюса невозможно отделить. Это означает, что в отличие от электрических зарядов магнитных зарядов не существует. Следовательно, линии магнитной индукции не обрываются на полюсах магнита. Было установлено, что внутри постоянных магнитов присутствует магнитное поле, и линии магнитной индукции внутреннего поля являются продолжением линий внешнего магнитного поля. Получается, что линии магнитного поля для постоянных магнитов замкнуты.

ПРИМЕР 2

Задание

Изобразите линии магнитной индукции прямого тока.

Решение

Вектор магнитной индукции всегда перпендикулярен плоскости, которая содержит проводник и исследуемую точку поля. Линии магнитной индукции для нашего проводника, по которому течет ток, будут расположены перпендикулярно к проводнику и являться концентрическими окружностями, центры которых расположены на проводнике (рис.2). Направления линий магнитной индукции определяют с помощью правила правого винта (буравчика).